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Problema 50 - Triângulos -Vol. 2

Últ. msg por petras « 29 Jul 2024, 20:34
Resp.: 2
por petras » 28 Jul 2024, 17:58

Primeira Postagem

petras

Calcular [tex3]\alpha [/tex3].
A) 10^o
B) 20^o
C) 15^o
D) 18^o
E) 30^o

Últ. msg

petras

[tex3]\mathsf{\angle ADC = 180^0 -(45^o-\alpha)-\alpha = 135^o \\ \triangle BCD_{(isosc.)}\\ Traçar~bissetriz~CE ~do~\angle BCD( E~prolongamento ~ AD)\\ CE \perp BD \implies BE =DE \therefore \angle CDE \cong \angle CBE = 180^o -135^o = 45^o \\ \therefore \text{E está na perpendicular por B do triÂngulo ABC}\\ \therefore \triangle AEC_{(isosc)} \implies\angle EAC \cong \angle ECA\\ \alpha = 45^o -\frac{\alpha}{2} \implies \boxed{\alpha = 30^o } }[/tex3]...
petras3

2 Resp.

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Últ. msg por petras
29 Jul 2024, 20:34
Problema 49 - Triângulos -Vol. 2

Últ. msg por petras « 29 Jul 2024, 13:02
Resp.: 1
por petras » 28 Jul 2024, 17:07

Primeira Postagem

petras

Se AB = 2m, calcular CD.
A) 1m
B) 2m
C) [tex3]\sqrt{2}[/tex3]m
D) 1,5m
E) 0,5m

Últ. msg

petras

[tex3]\mathsf{ \angle B = 180^o - 20^o -10^o = 150^o \\ \triangle ABC: \frac{2}{sen 10^o}=\frac{BC}{sen 20^o }=\frac{AC}{sen150^o } = 2AC \implies sen10^o = \frac{1}{AC}\\ \triangle ADC: \frac{CD}{sen10^o } = \frac{AD}{sen80^o } = AC\\ Substituindo~ sen10^o : \frac{CD}{\frac{1}{AC}} = AC \implies \boxed{CD = 1}}[/tex3]...
petras2

1 Resp.

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Últ. msg por petras
29 Jul 2024, 13:02
Problema 48 - Triângulos -Vol. 2

Últ. msg por petras « 27 Jul 2024, 09:33
Resp.: 1
por petras » 26 Jul 2024, 14:10

Primeira Postagem

petras

Na figura mostrada de AB = 3m, calcular o maior valor inteiro de CD.
A) 1m
B) 2m
C) 3m
D) 4m
E) 5m

Últ. msg

petras

[tex3]\mathsf{T.Senos \triangle ABD: \frac{AB}{sen(θ+α)}=\frac{BD}{sen(2α)} \\T.Senos \triangle BCD: \frac{CD}{sen(θ)}=\frac{BD}{sen(α)}\\ Substituindo BD\\ CD=\frac{ABsen(2α)senθ}{sen(θ+α)senα}\\ CD=\frac{2AB\cancel{senα}cosαsenθ}{(senθcosα+senαcosθ)\cancel{senα}}\\ \div cosαsenθ\\ CD=\frac{2AB}{1+tanαcotθ}\\ α < 90^o : θ < 90^o \implies tanαcotθ > 0\\ CD < 2AB=6 \\ \therefore ~Maior~inteiro= 5 }[/tex3]...
petras2

1 Resp.

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Últ. msg por petras
27 Jul 2024, 09:33
Problema 47 - Triângulos -Vol. 2

Últ. msg por petras « 28 Jul 2024, 16:29
Resp.: 1
por petras » 26 Jul 2024, 13:45

Primeira Postagem

petras

Em um triângulo retángulo ABC ([tex3]\measuredangle B -90°[/tex3]). Se traça a ceviana AD e se prolonga até o ponto E tal que [tex3] \measuredangle AEB= 53^o[/tex3].
Calcular [tex3]\measuredangle C[/tex3] . Se: CD = 2BE e [tex3]\measuredangle CAD = 2\measuredangle BAD[/tex3]...

Últ. msg

petras

[tex3]\mathsf{ sen(90∘+θ)=sen(90∘−θ)=cosθ\\ sen(2θ)=2senθcosθ\\ T.Senos△BDE:\frac{BD}{sin(53∘)}=\frac{BE}{sen(90∘+θ)}→BD=\frac{xsen(53∘)}{cosθ}\\ △ABD_{(ret.)} \\ senθ=\frac{BD}{AD}→AD=\frac{BD}{senθ}=\frac{xsen(53∘)}{senθcosθ}=\frac{2xsen(53∘)}{sen(2θ)}\\ T.senos △ACD\\ \frac{CD}{sen(2θ)} \frac{AD}{sen(∡C)}\\ \frac{2x}{sen(2θ)} =\frac{ \frac{2xsen(53∘)}{sen(2θ)}} {sen(∡C)}\\ 1=\frac{sen(53∘)}{sen(∡C)}\\ sen(∡C)=sin(53∘)\\ 0^o<∡C<90^o \implies ∡C=53∘ }[/tex3]...
petras2

1 Resp.

497 Exibições

Últ. msg por petras
28 Jul 2024, 16:29
Problema 46 - Triângulos -Vol. 2

Últ. msg por petras « 27 Jul 2024, 10:02
Resp.: 1
por petras » 26 Jul 2024, 13:33

Primeira Postagem

petras

Em um triângulo ABC, se traça a ceviana BN, tal que AB=CN, as mediatrizes de BN e AC se interceptam em "O". Se[tex3]\measuredangle OCN =20°[/tex3].
Calcular a medida do menor ângulo formado pelos prolongamentos de AB e CO.
A) 30°
B) 10°
C) 40°
D)...

Últ. msg

petras

[tex3]OA=OC\\
OB=ON\\
AB=CN\\
\therefore △OAB≅△OCN \implies ∠OAB=∠OCN=20^∘[/tex3]
O menor ângulo entre AB e CO é igual a soma dos 3 ângulos ∠OAC,∠OCA,∠OAB = 20∘+20∘+20∘=60∘.
(Solução:Euclid)
petras2

1 Resp.

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Últ. msg por petras
27 Jul 2024, 10:02
Problema 45 - Triângulos -Vol. 2

Últ. msg por petras « 27 Jul 2024, 13:55
Resp.: 1
por petras » 25 Jul 2024, 13:01

Primeira Postagem

petras

Em um triângulo ABC; m[tex3]\measuredangle ABC =60^o[/tex3]. Sobre o lado BC e externamente se constrói o triângulo equilátero BPC.
Calcular BM. Se: AM = MP e BC = 2AB = 8m.
A) 2[tex3]\sqrt{3}[/tex3]m
B) 3[tex3]\sqrt{3}[/tex3]m
C) 4[tex3]\sqrt{3}[/tex3]m
D) 6[tex3]\sqrt{3}[/tex3]m
E) 8[tex3]\sqrt{3}[/tex3]m

Últ. msg

petras

S é ponto médio de AC
[tex3]\mathsf {SM \parallel PC \parallel AB \implies BM = SA\\
\triangle ACB: SN = \frac{AB}{2} = 2\\
tg 60^o = \frac{AC}{4}} \implies AC = 4\sqrt3\\
\therefore SA = BM = \frac{4\sqrt3}{2} = \boxed{2\sqrt3}[/tex3]
petras2

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Últ. msg por petras
27 Jul 2024, 13:55
Problema 44 - Triângulos -Vol. 2

Últ. msg por petras « 27 Jul 2024, 17:03
Resp.: 1
por petras » 25 Jul 2024, 12:38

Primeira Postagem

petras

Em um triângulo ABC, a partir dos vértices A e C se traçam AP e CQ perpendiculares a bissetriz interna do ângulo B.
Calcular m[tex3]\measuredangle PMQ[/tex3].
Se m[tex3]\measuredangle B = 70^o [/tex3]. (M ponto médio de AC)
A) 70^o
B) 90^o
C) 110^o
D)...

Últ. msg

petras

△ABD e △EBC são isósceles.
Como P é ponto médio de AD e M de AC, os triângulos △APM e △ADC são semelhantes

[tex3]\mathsf{\therefore \angle PMA \cong \angle DCA. \\ Analogamente: △CMQ \sim △CAE \therefore \angle AMQ\cong \angle CAB:\\ \angle PMQ\cong \angle PMA+AMQ= \angle DCA+ \angle CAB=180^o−70^o=\boxed{110^ o}}[/tex3]...
petras2

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Últ. msg por petras
27 Jul 2024, 17:03
Problema 43 - Triângulos -Vol. 2

Últ. msg por petras « 26 Jul 2024, 10:55
Resp.: 1
por petras » 25 Jul 2024, 11:49

Primeira Postagem

petras

Calcular [tex3]\alpha ^o [/tex3].
A) 8^o
B) 12^o
C) 15^o
D) 18^o
E) 18^o30'

Últ. msg

petras

[tex3]\mathsf{ ∡FCE=45^∘ \therefore ∡CEF=45^∘\\ ∡BED=135^∘: ∡BDE=180^∘−15^∘−135^∘=30^∘\\ AB=AC=x\\ BC=\sqrt x \implies BE=\frac{BC}{2}=\frac{x}{\sqrt2} \\ T.Senos: △BDE:\\ \frac{BD}{sen135^∘} =\frac{BE} {sen30^∘} \implies \frac{BD}{\frac{1}{\sqrt2}} = \frac{ \frac{X}{\sqrt2}}{\frac{1}{2}} \implies BD = x\\ \therefore △ABD_{(isosc.)}\\ ∡ABD=30^∘ \therefore ∡BAD=\frac{180^∘−30^∘}{2}=75^∘=90^∘−α→\boxed{α=15^∘} } [/tex3]...
petras2

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Últ. msg por petras
26 Jul 2024, 10:55
Problema 42 - Triângulos -Vol. 2

Últ. msg por petras « 25 Jul 2024, 11:38
Resp.: 1
por petras » 25 Jul 2024, 11:27

Primeira Postagem

petras

Na figura calcular [tex3]\alpha ^o[/tex3].
Se [tex3]\theta -\beta = 20^ o [/tex3].
A) 10^o
B) 15^o
C) 18^o
D) 20^o
E) 12^o

Últ. msg

petras

[tex3]\mathsf{\angle EAD \cong \angle DAC = x\\ \triangle EDA: \theta+x = 90^o+\alpha(I)\\ \theta - \beta = 20^o (II)\\ \triangle ABC: \alpha +\underbrace{\beta +x} = 90^o (III)\\ (I)-(II): x+\beta = 70^o +\alpha\\ Substituindo (II):\alpha+70^o +\alpha = 90^o \implies \boxed{\alpha = 10^o} } [/tex3]...
petras2

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Últ. msg por petras
25 Jul 2024, 11:38
Problema 41 - Triângulos -Vol. 2

Últ. msg por petras « 25 Jul 2024, 22:40
Resp.: 1
por petras » 25 Jul 2024, 10:45

Primeira Postagem

petras

Na figura calcular [tex3]\alpha [/tex3].
A) 10^o
B) 12^o
C) 15^o
D) 18^o
E) 22^o

Últ. msg

petras

[tex3]\mathsf{
∠CAD=90^o−α\\
∠ACD=180^o−(90^o−α)−2α=90^o−α
\\
∴△ADC(isosc.)\\

P/simetria: △DCE_{(equil.)}\\
\therefore 2α+60^o=90^o \implies \boxed{α=15^o}}[/tex3]

(Solution:Pie)
petras2

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Últ. msg por petras
25 Jul 2024, 22:40
Problema 40 - Triângulos -Vol. 2

Últ. msg por petras « 23 Jul 2024, 21:44
Resp.: 1
por petras » 23 Jul 2024, 20:44

Primeira Postagem

petras

Calcular x^o.
A) 120^o
B) 100^o
C) 95^o
D) 110^o
E) 150^o

Últ. msg

petras

Prolongar BO até encontrar N em AB

[tex3]\mathsf{ \angle ONA =60^o \\ CD \parallel BN \implies \angle CDN = 60^o \implies 2\theta = 180^o-60^o-90^o\\ \therefore 2\theta = 30^o \implies \theta = 15^o \\ \angle DCE = 90^o-45^o = 45^o \\ \triangle DCE: x= 180^o-45^o-15^o = \boxed{120^o} }[/tex3]...
petras2

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Últ. msg por petras
23 Jul 2024, 21:44
Problema 39 - Triângulos -Vol. 2

Últ. msg por petras « 24 Jul 2024, 18:29
Resp.: 1
por petras » 23 Jul 2024, 19:33

Primeira Postagem

petras

Em um triângulo ABC(AB = BC), se traça a bissetriz interna AD, depois a bissetriz do ângulo ADC intercepta a base AC no ponto M, o prolongamento da bissetriz do ângulo ADB no sentido oposto intercepta o prolongamento da base no ponto P.
Calcular o...

Últ. msg

petras

\mathsf{ \angle ADM \cong \angle MDC = \alpha\\ \angle BN \cong \angle NDA = \theta\\ 2\alpha + 2\theta = 180^o \implies \alpha +\theta = 90^o \\ \therefore \angle NDM \cong \angle MDP =...
petras2

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Últ. msg por petras
24 Jul 2024, 18:29
Problema 38 - Triângulos -Vol. 2

Últ. msg por petras « 24 Jul 2024, 21:45
Resp.: 1
por petras » 23 Jul 2024, 19:18

Primeira Postagem

petras

Se tem um triângulo ABC no qual se traça a bissetriz interior CM (M no lado AB) pelo ponto M se traça uma reta paralela ao lado AC que intercepta a bissetriz externa do ângulo B no ponto N.
Se [tex3]2 \measuredangle BCA + \measuredangle ABC = 260^°[/tex3]...

Últ. msg

petras

\mathsf{ \alpha=\angle{ABC}, \beta=\angle{ACM}=\angle{MCB}, x=\angle{MNB}\\ \triangle{MBN}}:\dfrac{180^{\circ}-\alpha}{2}+x+180^{\circ}-2\beta-\alpha=180^{\circ}\Longrightarrow...
petras2

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Últ. msg por petras
24 Jul 2024, 21:45
Problema 37 - Triângulos -Vol. 2

Últ. msg por petras « 22 Jul 2024, 19:02
Resp.: 1
por petras » 22 Jul 2024, 12:47

Primeira Postagem

petras

Em um triângulo ABC se traça a bissetriz interna AM do ângulo A(M em BC), depois se traça MN || AC, (N em AB) e a bissetriz ND do ângulo MNA (D em AC).
Se [tex3]m \measuredangle ABC - m\measuredangle ACB = 80^o\\ m \measuredangle MDN = m\measuredangle BMD[/tex3]...

Últ. msg

petras

\mathsf{ \angle MAB \cong \angle DAM = \alpha\\ \angle B = \beta\\ \angle C =\theta\\ \beta - \theta =80^o (i)\\ \triangle ABC : 2\alpha+\beta+\theta = 180^o (ii)\\ De(i)e(ii): \alpha +\beta = 50^o(iii) \\ MN \parallel AC \implies \angle MNB =...
petras2

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Últ. msg por petras
22 Jul 2024, 19:02
Problema 36 - Triângulos -Vol. 2

Últ. msg por petras « 23 Jul 2024, 00:06
Resp.: 1
por petras » 22 Jul 2024, 12:38

Primeira Postagem

petras

Calcular x^o
A) 20^o
B) 25^o
C) 30^o
D) 45^o
E) 37^o

Últ. msg

petras

[tex3]\mathsf{
\angle ACB = 180^o -5\alpha =120-\alpha(propriedade^*)\\
\therefore \alpha = 15^ o\\
\triangle CBD_{(isosc)}: \angle DCB = \frac{180^o -30^o}{2} = 75^o \\
\therefore \angle x = 120^o -15^o - 75^o =\boxed{30^o}

}[/tex3]
petras2

1 Resp.

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Últ. msg por petras
23 Jul 2024, 00:06
Problema 35 - Triângulos -Vol. 2

Últ. msg por petras « 24 Jul 2024, 09:50
Resp.: 1
por petras » 20 Jul 2024, 13:58

Primeira Postagem

petras

Se tem um triângulo ABC obtuso em C, no qual se traça a mediana AM
sobre a qual se toma o ponto P de tal forma que: PB = PC[tex3]\sqrt{2}[/tex3] e m[tex3]\measuredangle CPM = 45^o[/tex3].
Calcular m[tex3]\measuredangle MPB[/tex3].
A) 20°
B) 30°
C) 37°
E) 18°30'
D) 22°30'

Últ. msg

petras

\mathsf{T.senos: α=\angle CMP: β=\angle MPB\\ \frac{CM}{sen45^∘}=\frac{PC}{senα}\\ \frac{MB}{senβ}=\frac{PB}{sen\angle PMB}\\ sen\angle PMB = sen(180-\alpha) \implies sen \angle PMB = sen \alpha\\ \therefore...
petras2

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Últ. msg por petras
24 Jul 2024, 09:50
Problema 34 - Triângulos -Vol. 2

Últ. msg por petras « 27 Jul 2024, 17:50
Resp.: 1
por petras » 20 Jul 2024, 13:51

Primeira Postagem

petras

Em um triângulo ABC,[tex3] \measuredangle A = 4\measuredangle C[/tex3].
Se: AB=2, qual é o máximo valor inteiro de BC.
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7

Últ. msg

petras

[tex3]\mathsf{\angle BCA = \alpha\\ sen4\alpha = \frac{BH }{2} \implies BH = 2.sen4\alpha = 2.2sen2\alpha 2xos2\alpha = 4.2sen \alpha cos \alpha = 8sen\alpha cos \alpha\\ sen \alpha =\frac{BH}{BC} \implies BC = \frac{BH}{sen \alpha} = \frac{8sen \alpha cos \alpha}{sen \alpha} \therefore BC = 8cos \alpha\\ 90^o < \alpha < 0^o \implies \boxed{BC < 8 = 7} }[/tex3]...
petras2

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Últ. msg por petras
27 Jul 2024, 17:50
Problema 33 - Triângulos -Vol. 2

Últ. msg por petras « 23 Jul 2024, 11:13
Resp.: 1
por petras » 20 Jul 2024, 13:38

Primeira Postagem

petras

Pelo vértice B de um triângulo ABC, e externamente se traçam os segmentos BP=AB e BQ=BC tal que [tex3]\measuredangle ABP=\measuredangle CBQ =40^o[/tex3]. Calcular a medida do maior ângulo formado por PC e AQ ao se interceptarem.
A) 100°
B) 110°
C)...

Últ. msg

petras

[tex3]\mathsf{ \triangle CBP \cong \triangle QBA(L.A.L) \implies \angle BPC \cong \angle BAQ = \theta\\ \triangle ABP_{(isosc.)}: \angle BPA \cong \angle PAB = \frac{180^o -40^o}{2}=70^o\\ \triangle ASP: \angle PSQ_{(ext.)} = 70^o-\theta+70^o+\theta = \boxed{140^o } }[/tex3]...
petras2

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Últ. msg por petras
23 Jul 2024, 11:13
Problema 32 - Triângulos -Vol. 2

Últ. msg por petras « 20 Jul 2024, 01:24
Resp.: 1
por petras » 19 Jul 2024, 11:09

Primeira Postagem

petras

Em um triângulo ABC (m[tex3]\measuredangle B = 90°[/tex3]) a bissetriz interna AF intercepcta a altura BH em E.
Calcular a distãncia de F a paralela traçada por B ao lado AC.
Se: EH=2.
A) 1
D) 4
B) 2
E) 5
C) 3

Últ. msg

petras

Traçar a perpendicular GD por F sendo D na paralela a AC por B e G no segmento AC.
Pela propriedade da bissetriz:

[tex3]\mathsf{ BF =FG\\ \angle BFA = 90^o -\alpha \cong \angle FEB \implies\triangle EBF_{(isosc.)}\\ \therefore EB = BF = FG\\ EB+2 = \underbrace{FG}_{EB}+FD = EB +FD \implies\boxed{FD=2} }[/tex3]...
petras2

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Últ. msg por petras
20 Jul 2024, 01:24
Problema 31 - Triângulos -Vol. 2

Últ. msg por petras « 19 Jul 2024, 18:24
Resp.: 1
por petras » 19 Jul 2024, 11:02

Primeira Postagem

petras

Em um triângulo obtusângulo ABC, obtuso em B, se traça a bissetriz interna AD e em AC se toma o ponto "q" tal que m[tex3]\measuredangle ADQ = 90^o[/tex3].
Calcular DC. Se: AQ = 10 e AB = BC.
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

Últ. msg

petras

Marcar R, ponto médio de AQ
[tex3]\mathsf{\therefore DR = r = \frac{10}{2}=5\\ △ARD_{(isosc.)} \implies \measuredangle ADR=θ \therefore ∡RDQ=θ\\ ∡BDA=3θ\\ ∡RDC=180^∘−3θ−θ=180^∘−4θ\\ ∡DCR=2θ \implies ∡DRC=180^∘−(180^∘−4θ)−2θ=2θ\\ \therefore △RDC_{(isosc)} \therefore \boxed{DC=DR=5} }[/tex3]...
petras2

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Últ. msg por petras
19 Jul 2024, 18:24
Problema 30 - Triângulos -Vol. 2

Últ. msg por petras « 18 Jul 2024, 15:16
Resp.: 1
por petras » 18 Jul 2024, 14:57

Primeira Postagem

petras

Em um triângulo ABC se traça a mediana BM e a perpendicular AE a BM.
Calcular a m [tex3]\measuredangle [/tex3]MBC se BC = AE[tex3]\sqrt2[/tex3]
A) 15^o
B) 30^o
C) 45^o
D) 53^o
E) 60^o

Últ. msg

petras

Prolongando BM e traçando uma paralela a AE por C que se encontram em D teremos:
[tex3]\mathsf{\triangle CDM \cong \triangle AEM \implies AE =CD = k\\ \therefore \triangle CDB: sen \angle MBC = \frac{k}{k\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2}\\ \therefore \boxed{\angle MBC = 45^o} }[/tex3]...
petras2

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Últ. msg por petras
18 Jul 2024, 15:16
Problema 29 - Triângulos -Vol. 2

Últ. msg por petras « 18 Jul 2024, 16:01
Resp.: 1
por petras » 18 Jul 2024, 14:51

Primeira Postagem

petras

Em um triângulo isósceles onde a soma das medidas de dois ángulos exteriores é 300^o e o lado maior é 18.
Calcular a soma das distâncias de um ponto da base aos lados congruentes.
A) 7
B) 9
C) 11
D) 13
E) 15

Últ. msg

petras

\mathsf{180^o -\angle CBA+ 180^o - \angle ACB=300^o \implies \angle CBA + \angle ACB = 60^o\\ \therefore \angle CBA = \angle ACB = 30^ o\\ PF \perp AB: P G \perp AC \implies PFAG_{(cíclico)}\\ \therefore \angle GPF = 180^o - 120^o =60^o...
petras2

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Últ. msg por petras
18 Jul 2024, 16:01
Problema 28 - Triângulos -Vol. 2

Últ. msg por petras « 18 Jul 2024, 16:16
Resp.: 1
por petras » 18 Jul 2024, 14:46

Primeira Postagem

petras

Achar a soma do maior e do menor valor inteiro da mediana BM do triângulo ABC, onde AB = 4,6 e BC = 10,4.
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14

Últ. msg

petras

O maior inteiro(7) está nesta questão: viewtopic.php?t=110189

##Menor inteiro
\mathsf{ AB = c :AC = b: BC = a\\ AB+AC >BC \implies 4,6+b > 10,4 \therefore b > 5,8\\ AB +BC > AC \implies 4,6+10,4 > b \therefore b < 15\\ AC+BC > AB \...
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Problema 27 - Triângulos -Vol. 2

Últ. msg por petras « 18 Jul 2024, 19:11
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por petras » 17 Jul 2024, 15:10

Primeira Postagem

petras

Em um triângulo ABC onde a meditatriz de AC intercepta a BC em "P" e
sendo [tex3]m \measuredangle BAP = 28^o[/tex3] e AB = PC.
Calcular [tex3]m \measuredangle BCA[/tex3].
A) 34^o
B) 36^o
C) 38^o
D) 40^o
E) 42^o

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petras

[tex3]\mathsf{\angle BCA = \theta\\

\triangle APC_{(isosc)} \implies AP = PC = AB\\
\therefore \triangle PAB_{(isosc)} \implies \angle AB = 2\theta\cong \angle ABP\\
\therefore 2\theta +2\theta +28^o = 180^o \implies \boxed{\theta =38^o }

}[/tex3]
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Problema 26 - Triângulos -Vol. 2

Últ. msg por petras « 17 Jul 2024, 14:31
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por petras » 17 Jul 2024, 13:50

Primeira Postagem

petras

Em um triângulo [tex3]ABC[/tex3] onde [tex3]AB = BC[/tex3] se traça a ceviana interior [tex3]AE[/tex3] sendo [tex3]BE = EA = AC[/tex3].
Calcular [tex3]m \measuredangle BEA[/tex3]

A) [tex3]108^\circ[/tex3]
B) [tex3]100^\circ[/tex3]
C) [tex3]106^\circ[/tex3]
D) [tex3]110^\circ[/tex3]
E) [tex3]115^\circ[/tex3]

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petras

[tex3]\mathsf{ \triangle AEC_{(isosc)}:\angle ACE = \theta \implies AEC =\theta\\ \angle CAE = 180 -2\theta \implies \angle EAB = 3\alpha -180^o \cong \angle B( \triangle AEB _{(isosc)}) \\ \text{Mas } \angle B =180^o -2\alpha \therefore 3\alpha -180^o =180-2\alpha \implies \alpha =72^o \\ \angle BEA=180^\circ -\alpha =\boxed{ 108^\circ } }[/tex3]...
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17 Jul 2024, 14:31
Problema 25 - Triângulos -Vol. 2

Últ. msg por petras « 17 Jul 2024, 13:43
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por petras » 17 Jul 2024, 13:36

Primeira Postagem

petras

Em um triângulo ABC onde dois de seus lados meden 6,2 e 12,2.
Calcular a diferença entre o maior e o menor valor inteiro que pode ter o terceiro lado.
A) 7
B) 9
C)11
D) 13
E) 15

Últ. msg

petras

Usando as propriedades das desigualdades triangulares.

[tex3]\mathsf{6,2 + 12,2 > c \implies c < 18,4\\ 6,2 + c > 12,2 \implies c > 6 \\ 12,2 + c > 6,2 \implies c > -6,2 \\ \therefore 6 < c < 18,4\\ c: 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 )\\ \therefore 18 - 7 = \boxed{11}} [/tex3]...
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17 Jul 2024, 13:43
Problema 24 - Triângulos -Vol. 2

Últ. msg por petras « 20 Jul 2024, 17:44
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por petras » 17 Jul 2024, 13:31

Primeira Postagem

petras

Em um triângulo ABC ([tex3]m\measuredangle B = 90^o[/tex3]) considera-se em AC o ponto "P" sendo AB = PC, [tex3]m\measuredangle A = 2\alpha[/tex3] e [tex3]m\measuredangle PBC = 3\alpha[/tex3].
Calcular [tex3]\alpha ^o [/tex3]
A) 18^o30'
B) 22^o30'
C) 26^o30'
D) 24^o
E) 36^o

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petras

[tex3]\mathsf{\angle BCP=90^o−2α\\ \angle CPB=180^o−(\angle BCP+3α)=90^o−α\\ Marcar~Q\in CA : (AB=AQ) \\ \angle ABQ \cong \angle BQA=\frac{180^o−2α}{2}=90^o−α\\ △PBQ_{(isosc.)} \implies \underbrace{AQ}_{AB} - AQ+CQ = AB \implies AQ = CQ⟹AP=QC\\ \therefore △APB \cong △QCB \implies AB=BC\\ \therefore 4α=90^o⟹\boxed{α=22.5^o} }[/tex3]...
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20 Jul 2024, 17:44
Problema 23 - Triângulos -Vol. 2

Últ. msg por petras « 17 Jul 2024, 13:19
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por petras » 16 Jul 2024, 20:15

Primeira Postagem

petras

Encontrar o maior valor inteiro da mediana BM do triângulo ABC onde AB = 4,6m e BC = 10,4.
A) 3
B) 5
C) 6
D) 7
E) 9

Últ. msg

petras

[tex3]\mathsf{ AB = c :AC = b: BC = a\\ AB+AC >BC \implies 4,6+b > 10,4 \therefore b > 5,8\\ AB +BC > AC \implies 4,6+10,4 > b \therefore b < 15\\ AC+BC > AB \implies b+10,4 > 4,6 \therefore b >- 5,8\\ \therefore 5,8 < b < 15\\ BM = \frac{\sqrt{2(a^2+c^2)-b^2}}{2}\\ < b \implies > BM \therefore BM = \frac{\sqrt{2(a^2+c^2)-b^2}}{2} = \frac{\sqrt{2(10,4^2+4,6^2)-5,8^2}}{2} = 7,5\\ \therefore \boxed{Maior~ inteiro = 7} }[/tex3]...
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17 Jul 2024, 13:19
Problema 22 - Triângulos -Vol. 2

Últ. msg por petras « 19 Jul 2024, 17:48
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por petras » 16 Jul 2024, 20:40

Primeira Postagem

petras

Se AB = AQ calcular x^o.
A) 10^o
B) 15^o
C) 18^o
D) 20^o
E) 30^o

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petras

Construir triângulo ARQ equilátero.
[tex3]\mathsf{ \therefore ARB_{(sosceles)} \implies ∡ARB=∡ABR=60^∘+2α\\ ∡ABC=120^∘−2α \therefore ∡RBC=180^∘\\ \therefore R, B, e~C \text{ estão alinhados}\\ ∡PAR=∡APR=60^∘−α \implies \triangle RAP_{(isosc)} \therefore AP = PR=RQ\\ \measuredangle BQR = 180^o -2\alpha - (60^o +2\alpha) - (90^o -2\alpha) = \\\triangle RQP_{(isosc)} \implies ∡QPR=90∘−α = x^o +60^o -\alpha\\ \therefore \boxed{APQ=30^∘} }[/tex3]...
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19 Jul 2024, 17:48
Problema 21- Triângulos -Vol. 2

Últ. msg por petras « 17 Jul 2024, 10:56
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por petras » 16 Jul 2024, 20:10

Primeira Postagem

petras

As raízes da seguinte equação são os lados de um triângulo.
Encontrar o menor valor inteiro de "n".
x³ - 4x² -2x²n + n²x +8nx -4n² = 0
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

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petras

Sejam a,b e c [tex3]\in \mathbb{Z}_+[/tex3]raízes da equação

a+b>c
a+c>b
b+c>a

Pelo teorema de Viete:

\mathsf{a+b+c=4+2n⟹n=\frac{a+b+c−4}{2}\\ ab+bc+ca=n^2+8n\\ abc=4n^2⟹n=\frac{\sqrt{abc}}{2}\\ \sqrt{a.b.c} \rightarrow \text{ quadrado...
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Últ. msg por petras
17 Jul 2024, 10:56

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