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P é circuncentro do triângulo ACB portanto PA = PC = PB
[tex3]\mathsf{\triangle PAB_{(isosc)} \implies \angle PBA = 55^o \therefore \angle APB =180^o -110^o = 70^o\\ \angle ABC = 125^o \implies \angle PBC = 125^o-33^o =70^o \\ \triangle PBC_{(isosc.)} \implies \angle PCB = 70^o \\ mas: \angle DCB = 55^o \therefore x^o = 70^o -55^o = \boxed{15^o } }[/tex3]...

Construir triângulo isosceles BEC

[tex3]\angle ABE=240^o−4θ−(180^o−4θ)=60^o, \implies △ABE_{(eq.)} \\
\therefore △AED _{(isosc)} \implies 2(x+θ)=60^o+2θ⟹\boxed{x=30^o}[/tex3]

(Solução:Pie)

1)\triangle PAC\text{ equilátero}\\ P\in (DB)\text{ bissetriz de }\angle ADC \implies PA=PC\\ M\text{ ponto médio de }[A,C]: (PM)\perp (AC)\quad \quad (PM)\text{ mediana e $(PM)$ mediatriz de $[A,C]$ já que $\triangle APC$ isósceles}\\......

\beta_1=\angle AQG,\beta_2\angle AEQ\\ \text{Em }EQGA\text{ paralelogramo temos }\angle QGA=\dfrac{2\pi-(\beta_1+\beta_2)}{2}=\pi-(\beta_1+\beta_2)\\ (\text{ angulos opostos congruentes e soma dos angulos interiores igual a }2\pi)\\......

Seja M ponto médio de C'A'

[tex3]\mathsf{ MN \perp C'A' (N \in BD) \implies N_ \text{ponto médio de BD}\\ \therefore MN =\frac{8+2}{2} = 5\\ BP = x \implies PD = 3x \therefore BD = 4x\\ DN = PN =2x \therefore PN = BP = x\\ BE \perp A'C'(E \in A'C')\\ \triangle DBE: BE = 2MN_{(basemedia)} \implies BE = 10\\ PQ = \frac{BE+MN}{2} = \frac{10+15}{2} = \boxed{7,5} }[/tex3]...

………………………………………………………………..

M é o circuncentro do triângulo BND
[tex3]\mathsf{ \triangle BND_{(ret)} \implies \angle BND = 90^0\\ BN=MN=DM \therefore MN \perp BD \implies \triangle BND_{(ret-isos)}\\ \therefore \angle MNC = 45^o \cong \angle DBN\\ \angle DBC = 20^o \cong \angle DNC \therefore x^o =45^0 +20^o = \boxed{65^o } }[/tex3]...

Há um problema no enunciado..Da forma como está não existe resposta única.

Movendo o ponto R abaixo veremos que as condições são obedecidas e o ângulo pedido irá variar.



https://www.geogebra.org/classic/bgn3mtz5

Se prolongamos AB e DC e seja E a sua intersecão teremos que [tex3]AED=90^o[/tex3], já que [tex3]\angle ABD=90^ o+θ⟹\angle DBE=90^o−θ[/tex3] e [tex3]\angle EDB=θ[/tex3] (analogamente deduzimos os outros ángulos):

Por ser M e N pontos médios das...

@petras trace Bk paralela a AH e veja que os triângulo AHN e BKN( N interceçao ente AB e HK)são congruentes logo BK=4.Agora trace MF perpendicular a EF e veja que essa reta é base média do trapezio AHEC . Assim EF=6

Como aquele ponto entre A e M é...