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(FGV-RJ) A figura a seguir é uma representação plana de certo apartamento, feita na escala 1 : 200, ou seja, 1 cm na representação plana corresponde a 200 cm na realidade. Vão ser colocados rodapé e carpete no salão. Cada metro de rodapé custa R$...
(Ibmec-RJ) O triângulo ABC (figura) tem área igual a 36 cm2. Os pontos M e N são pontos médios dos lados AC e BC. Assim, a área da região MPNC, em cm2, vale: a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18
(FGV-SP) As medianas BD e CE do triângulo ABC indicado na figura são perpendiculares, BD = 8 e CE = 12. Assim, a área do triângulo ABC é: a) 96 b) 64 c) 48 d) 32 e) 24
[tex3]O\text{ ponto de intersecção de $(EC)$ com $(BD$)}\\
E,D\text{ pontos médios de }AB,AC\implies (ED)\parallel (BC)\text{ e }ED=\frac{1}{2}BC\implies EO=\frac{1}{2}CO\text{ e }DO=\frac{1}{2}BO\quad\text{($EC$ e $DB$ diagonais do trapézio $EBCD$)}\\
\therefore BO=\frac{16}{3},\,EO=4,\,CO=8\\
S(EBC)=S(EBO)+S(BOC)=\frac{64}{6}+\frac{128}{6}=\frac{192}{6}=32\\
CE\text{ mediana}\implies S(EBC)=\frac{1}{2}S(ABC)\implies S(ABC)=64 [/tex3]...
(FGV-SP) No triângulo retângulo abaixo, os catetos AB e AC medem, respectivamente, 2 e 3. A área do quadrado ARST é que porcentagem da área do triângulo ABC? a) 42% b) 44% c) 46% d) 48% e) 50%
(UF-PI) Na figura abaixo, os números reais S1 e S2 representam as medidas das áreas das regiões correspondentes. O valor da razão [tex3]\frac{S_1}{S_2}[/tex3]é: a) [tex3]\frac{1}{3}[/tex3] b) [tex3]1[/tex3] c) [tex3]3[/tex3] d) [tex3]\frac{1}{4}[/tex3] e) [tex3]\frac{1}{3}[/tex3]
(UF-AM) Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas e o triângulo ABC é equilátero de lado 4 cm. Se os triângulos ABC e ABF possuem a mesma base AB, então a área do triângulo ABF é igual a: a) 16[tex3]\sqrt{3}[/tex3] cm2 b)...
[tex3]l,h\text{ o lado e a altura de $\triangle ABC$}\\
S(ABC)=\frac{1}{2}\cdot h\cdot l=\frac{1}{2}\cdot (4\cdot\cos30°)\cdot 4=4\sqrt{3}\\
\text{ a altura de $\triangle ABF$ tem a mesma medida auqe a altura de $\triangle ABC$ já que $r$ e $s$ são paralelas}\\
\text{Mesma base, mesma área: os dois triângulos tem mesma área}\\
S(ABF)=S(ABC)=4\sqrt{3}\\
\\\fbox{$\quad$resposta b$\quad$}[/tex3]...
(Unifesp-SP) Dois triângulos congruentes ABC e ABD, de ângulos 30°, 60° e 90°, estão colocados como mostra a figura, com as hipotenusas AB coincidentes. Se AB = 12 cm, a área comum aos dois triângulos, em centímetros quadrados, é igual a: a) 6 b)...
(Unemat-MT) No triângulo equilátero ABC, os pontos M e N são respectivamente pontos médios dos lados AB e AC. O segmento MN mede 6 cm. A área do triângulo ABC mede:
a) 18[tex3]\sqrt{3}[/tex3] cm2 b) 24[tex3]\sqrt{2}[/tex3] cm2 c)...
(Unesp-SP) A figura representa um triângulo retângulo de vértices A, B e C, onde o segmento de reta DE é paralelo ao lado AB do triângulo. Se AB = 15 cm, AC = 20 cm e AD = 8 cm, a área do trapézio ABED, em cm2, é: a) 84 b) 96 c) 120 d) 150 e) 192
(UF-MT) Na figura abaixo, o triângulo ABC é equilátero de lado L. Sendo E, F e G os pontos médios dos lados desse triângulo e D, o ponto médio do segmento AE, pode-se afirmar que a área do polígono DEFG é a) [tex3]\frac{3\sqrt3L^2}{32}[/tex3] b)...
\text{Aplicando Tales no $\triangle ABC$ com os pontos médios do seus lados $E,F,G$ vemos que $\triangle ABC$ é composto }\\ \text{por 4 triângulos equiláteros formados por um vértice de $\triangle ABC$ e os dois pontos médios dos lados...
(Fuvest-SP) Na figura, o triângulo ABC é retângulo com catetos BC = 3 e AB = 4. Além disso, o ponto D pertence ao cateto AB, o ponto E pertence ao cateto BC e o ponto F pertence à hipotenusa AC, de tal forma que DECF seja um paralelogramo. Se DE =...
(UF-GO) Em um sistema de coordenadas cartesianas são dados os pontos A(0, 0), B(0, 2), C(4, 2), D(4, 0) e E(x, 0), onde 0 < x < 4. Considerando os segmentos BD e CE, obtêm-se os triângulos T1 e T2, destacados na figura. Para que a área do triân...
(UF-PE) A figura abaixo ilustra uma região triangular plana ABC. O lado AB foi dividido em quatro segmentos de mesma medida, um dos quais sendo DE, e o lado BC foi dividido em cinco segmentos de mesma medida, sendo F um dos pontos da divisão. Qual a...
A mediana conecta um vértice ao ponto médio do lado oposto, e essa divisão garante que ambos os triângulos resultantes tenham a mesma base e a mesma altura, resultando em áreas iguais. Os 5 triângulos com base no segmento AB tem a mesma área S1...
(Unesp-SP) Seja ABC o triângulo de lados l, l e l[tex3]\sqrt{2}[/tex3]. Foram traçadas retas paralelas aos lados, passando pelos pontos que dividem os lados em três partes iguais, conforme ilustra a figura. Qual a razão entre a área da figura em...
O triângulo ABC é retângulo isósceles assim oomo os triângulos menores
É fácil perceber que todos os triângulos menores são congrentes portanto de mesma área S [tex3]
S_{(sombreada)} = \frac{3S}{9S} = \boxed{\frac{1}{3}}[/tex3]
e)
(UF-PE) Um terreno tem forma triangular ABC. O lado AB mede 60 m. O vértice C dista 30 m do ponto médio de AB, e a menor distância desse vértice C ao lado AB mede 25 m. Podemos afirmar que:
0-0) ABC é um triângulo retângulo. 1-1) A área do terreno...
0)\, MA=MA=MC=30\implies M\text{ circuncentro de }\triangle ABC\implies \angle ACB=\frac{1}{2}\angle AMB \text{ (ângulo no centro num círculo)}\\ \implies \angle ACB=\frac{1}{2}\cdot 180°=90°\\ \text{verdadeiro}\\ \\1)S(\triangle...
(FGV-SP) Em um triângulo ABC, o lado AC e a mediatriz de BC se interceptam no ponto D, sendo que BD é bissetriz do ângulo ABC. Se AD = 9 cm e DC = 7 cm, a área do triângulo ABD, em cm2, é:
a) 12 b) 14 c) 21 d) 28 e) 14[tex3]\sqrt{5}[/tex3]
(Unifesp-SP) Na figura, os triângulos ABD e BCD são isósceles. O triângulo BCD é retângulo, com o ângulo C reto, e A, B, C estão alinhados. a) Dê a medida do ângulo BÂD em graus. b) Se BD = x, obtenha a área do triângulo ABD em função de x.
(UF-PR) Um canteiro de flores possui 25 m2 de área e tem o formato de um triângulo retângulo. Este triângulo foi dividido em cinco partes, por segmentos de reta igualmente espaçados e paralelos a um dos catetos, conforme indica a figura a seguir....
[tex3]
\text{$B$ o vértice do ângulo reto, $A$ o vértice tal que $(AB)$ é a reta perpendicular às retas traçadas, $C$ o terceiro vértice}\\
\text{$B_i,C_i$ as interseções de $(AB),(AC)$ com a $i$-ésima reta, saindo de $A$}\\
\triangle AB_iC_i\sim \triangle ABC,\,\text{ de razão }r=\frac{AB_i}{AB}=\frac{i}{5}\implies S(\triangle AB_iC_i)=\frac{i^2}{25}S(\triangle ABC)=i^2\\
S(\text{trapézio hachurado})=S(\triangle AB_4C_4)-S(AB_2C_2)=4^2-2^2=16-4=12
[/tex3]...
(Enem-MEC) Em canteiros de obras de construção civil é comum perceber trabalhadores realizando medidas de comprimento e de ângulos e fazendo demarcações por onde a obra deve começar ou se erguer. Em um desses canteiros foram feitas algumas marcas no...
Esquematizando: O interessante aqui é que não é necessário realizar contas, apenas utilizar o raciocínio lógico e abstrato. A primeira coisa a se fazer neste caso é notar que os pontos P, M e N são médios do triângulo retângulo como um todo.
(Fuvest-SP) Na figura abaixo, os segmentos AB e CD são paralelos, o ângulo OÂB mede 120°, AO = 3 e AB = 2. Sabendo- se ainda que a área do triângulo OCD vale 600[tex3]\sqrt{3}[/tex3], a) calcule a área do triângulo OAB, b) determine OC e CD.
(Fuvest-SP) O triângulo ABC da figura abaixo é equilátero de lado 1. Os pontos E, F e G pertencem, respectivamente, aos lados AB, AC e BC do triângulo. Além disso, os ângulos AFE e CGF são retos e a medida do segmento AF é x. Assim, determine: a) A...
(Unicamp-SP) Em um triângulo com vértices A, B e C, inscrevemos um círculo de raio r. Sabe-se que o ângulo  tem 90° e que o círculo inscrito tangencia o lado BC no ponto P, dividindo esse lado em dois trechos com comprimento PB = 10 e PC = 3.
(UF-MS) Determine a área, em centímetros quadrados, interior a um triângulo acutângulo de ângulos conhecidos, 60° e 75°, e lado comum adjacente a esses ângulos medindo 35 cm. (Use: cos 30° = 0,8; cos 45° = 0,7; e sen 105° = 0,9.)
(Fuvest-SP) No triângulo ABC, tem-se que AB > AC, AC = 4 e cos C = [tex3]\frac{3}{8}[/tex3]. Sabendo-se que o ponto R pertence ao segmento BC e é tal que AR = AC e [tex3]\frac{BR}{BC}[/tex3] = [tex3]\frac{4}{7}[/tex3] , calcule:
UE-CE) Na figura abaixo, o quadrado ABCD e o triângulo equilátero CDE possuem lados com comprimento de mesma medida. Assinale a alternativa que apresenta a razão entre a área do triângulo e a área do quadrado. a) [tex3]\frac{4}{\sqrt3}[/tex3] b)...
[tex3]l{ o comprimento do lado}\\
\text{Usando a formula de Heron para a área do triângulo:}\\
S(\text{triângulo})=\sqrt{\frac{3l}{2}(\frac{3l}{2}-l)^3}=l^2\frac{\sqrt{3}}{4}\\
S(\text{quadrado})=l^2\\
\frac{S(\text{triângulo})}{S(\text{quadrado})}=\frac{\sqrt{3}}{4}
[/tex3]...
(ESPM-SP) Uma folha de papel retangular foi dobrada como mostra a figura a seguir. De acordo com as medidas fornecidas, a região sombreada, que é a parte visível do verso da folha, tem área igual a: a) 24 cm2 b) 25 cm2 c) 28 cm2 d) 35 cm2
(UF-MG) Nesta figura plana, há um triângulo equilátero, ABE, cujo lado mede a, e um quadrado, BCDE, cujo lado também mede a. Com base nessas informações, é correto afirmar que a área do triângulo ABC é: a)[tex3]\frac{a^2}{3}[/tex3]...
(Enem-MEC) Em uma certa cidade, os moradores de um bairro carente de espaços de lazer reivindicam à prefeitura municipal a construção de uma praça. A prefeitura concorda com a solicitação e afirma que irá construí-la em formato retangular devido às...