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[tex3]\mathsf{LA.MA = 67\\ LI.IM = 18\\ LI.MA = LA.IM\\ LI.MA = LA.IM \implies \frac{LA}{LI} = \frac{MA}{IM} \therefore:quádrupla~harmônica\\ Propriedade^*: IA^2 = LA.MA-LI.IM \implies IA^2 = 67-18 = 49\\ \therefore \boxed{IA = 7} }[/tex3]...

NI=a
IE=b
EL=c
LS=c (dado EL=LS)

Condições:

NI=IL. Como IL=IE+EL, então a=b+c.
3.NE=4.IS. Aqui NE=NI+IE=a+b e IS=IE+EL+LS=b+c+c=b+2c. Assim
Portanto: 3(a+b)=4(b+2c).(I)

NS=a+b+2c=136.(II)
Substituindo a=b+c na equação...

U=0.
Então C está em 14 (pois UC=14).
Como N é o ponto médio de UC, N está em 7.
Como NP=12 e P está à direita de C, P está em 7+12=19.

Seja M um ponto em NC. M = 7 + t com 0 [tex3]\leq [/tex3] t [tex3]\leq[/tex3] 7.

Então: NM=t,...

Seja LI = a, IM = b, MA = c.

Dado a + c = 16.

Seja L = 0, I em a, M em a + b e A em a + b + c.

Ponto médio de de [tex3]LM: \dfrac{0+(a+b)}{2}=\dfrac{a+b}{2}.[/tex3]
Ponto médio de IA:...

Seja A em 0, B em b (onde b = AB) e C em b + 5 (pois BC = 5).

M é o ponto médio de AB ⇒ M em [tex3] \frac{b}{2}[/tex3].
N é o ponto médio de BC ⇒ N em [tex3]b+2{,}5[/tex3].

Ponto médio de AN:[tex3]\frac{0+(b+2{,}5)}{2}=\frac{b+2{,}5}{2}= \frac{b}{2}+1{,}25[/tex3]...

DO = DI + IL + LO$
IL (é um segmento único)

DO - IL = 16m
Substituindo:
(DI + IL + LO) - IL = 16m
DI + LO = 16m
Seja M1 o ponto médio de DL.
Seja M2 o ponto médio de IO.
Seja D a origem (coordenada 0). Assim, as coordenadas dos pontos são:
D = 0
I...

Seja UN = a
Seja NI = b
a - b = 44.

M₁ é o ponto médio do segmento UN. Portanto, [tex3]M_1N = \frac{UN}{2} = \frac{a}{2}[/tex3].
M₂ é o ponto médio do segmento NI. Portanto, [tex3]NM_2 = \frac{NI}{2} = \frac{b}{2}[/tex3].

O segmento que tem por...

[tex3]M = \frac{c(a+b)^2 + a(b+c)^2 + b(a+c)^2}{abc} - 4[/tex3]

[tex3]c(a+b)^2 = c(a^2 + 2ab + b^2) = a^2c + 2abc + b^2c\\
a(b+c)^2 = a(b^2 + 2bc + c^2) = ab^2 + 2abc + ac^2\\
b(a+c)^2 = b(a^2 + 2ac + c^2) = a^2b + 2abc + bc^2[/tex3]
Somando esses...

x^2+x+1=0. Multiplicando ambos os lados por (x-1), obtemos:[tex3](x-1)(x^2+x+1)=0[/tex3]
[tex3]\therefore x^3-1=0 \implies x^3=1[/tex3]
Portanto
[tex3]x^{123} = (x^3)^{41} = 1^{41} = 1\\ x^{111} = (x^3)^{37} = 1^{37} = 1\\ x^3 = 1\\ x^{-3} = \frac{1}{x^3} = \frac{1}{1} = 1 [/tex3]...

Seja a posição inicial de G = 0 e r, e, t, a as distâncias de R, E, T, A a G, respectivamente.
GA = a
RT = t-r
GE = e
RA = a-r
GT = t
EA = a-e

Substituindo na segunda equação:
a \cdot (t-r) = (t-r) + e + (a-r) + t + (a-e)\\ a(t-r) = t - r +...

E é o ponto médio de SP. Podemos definir SE = EP = a. Consequentemente, SP = SE + EP = 2a.
JS = SP. Como SP = 2a, então JS = 2a.
OE = EH. Podemos definir OE = EH = b.

OS = OE - SE.
Como O = b e SE = a, temos OS = b-a.
JO = JS - OS.
Como JS = 2a e...

PU x NA = 7 x PA x UN [tex3]\rightarrow [/tex3] [tex3]\frac{NA}{PA \times UN} = \frac{7}{PU}[/tex3]
Substitundo esta relação na segunda equação:
[tex3]\frac{NA}{PA \times UN} + \frac{1}{PA} = \frac{k}{PN}\\ \frac{NA + UN}{PA \times UN} = \frac{k}{PN}[/tex3]...

Os pontos B, O, L e A são consecutivos na linha reta. Isso nos dá as seguintes relações entre os segmentos:
BL = BO + OL
BA = BO + OA
Substituindo: [tex3]\frac{1}{BO} = \frac{1}{BL} + \frac{1}{BA}\\ \frac{1}{BO} = \frac{1}{BO+OL} + \frac{1}{BO+OA}[/tex3]...

[tex3]\frac{JS}{OS}+\frac{OE}{SE}+\frac{SP}{EP}+\frac{EH}{PH}=12[/tex3]

[tex3]\frac{OE}{SE} = \frac{OS+SE}{SE} = \frac{OS}{SE} + 1\\ \frac{SP}{EP} = \frac{SE+EP}{EP} = \frac{SE}{EP} + 1\\ \frac{EH}{PH} = \frac{EP+PH}{PH} = \frac{EP}{PH} + 1[/tex3]...

UC=UN+NC
UP=UN+NC+CP=UC+CP

a.UN⋅CP=b⋅NC⋅UP.
[tex3]a \cdot UN \cdot (UP - UC) = b \cdot NC \cdot UP\\a \cdot UN \cdot UP - a \cdot UN \cdot UC = b \cdot NC \cdot UP\\ a \cdot UN \cdot UP - b \cdot NC \cdot UP = a \cdot UN \cdot UC\\ UP(a \cdot UN - b \cdot NC) = a \cdot UN \cdot UC\\UP = \frac{a \cdot UN \cdot UC}{a \cdot UN - b \cdot NC}[/tex3]...

Seja DR = a.
Seja RO = b.
O comprimento total que queremos calcular é DO = DR + RO = a + b.

Com M e N sendo os pontos médios de DR e RO, respectivamente, podemos expressar os outros segmentos:
MR = \frac{a}{2}\\ RN = \frac{b}{2}\\ MN = MR +...

[tex3]\sqrt[2x]{x+1} = x^{x-1} \implies (x+1)^{\frac{1}{2x}} = x^{x-1}[/tex3]
Se assumimos que x+1=x²
Substituindo:[tex3] (x^2)^{\frac{1}{2x}} = x^{x-1}\\x^{\frac{2}{2x}} = x^{x-1} \implies x^{\frac{1}{x}} = x^{x-1}[/tex3]
Como as bases são iguais...

A chave para resolver esta equação é notar que uma solução válida a torna igual a 1 em ambos os lados
Vamos simplificar o lado direito e encontrar o valor de x que faz com que a base seja...

O limite da soma dos comprimentos é a soma da série infinita [tex3]S = \sum_{n=1}^{\infty} a_n.[/tex3]

Numeradores: A sequência dos numeradores 1, 3, 5, 7, .... Esta é uma progressão aritmética com primeiro termo 1 e razão 2. O n-ésimo termo é...

A sequência, a partir do segundo termo, é uma progressão geométrica infinita. O primeiro termo [tex3](a_1)[/tex3] é 1, e a partir dele, a série é:
[tex3]\frac{1}{6}, \frac{1}{12}, \frac{1}{24}, \frac{1}{48}, \frac{1}{96}, \dots[/tex3]

S =...

os comprimentos dos segmentos formam uma série infinita, onde o termo geral pode ser representado por:
[tex3] \frac{1}{n(n+1)(n+2)},[/tex3] e pode ser reescrito da seguinte forma:

[tex3]\frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right)[/tex3]...

[tex3]a_n = \frac{4^n - 3^n}{7^n}[/tex3]

Este padrão é consistente para todos os termos, a partir de n=1:
1º termo (n=1):[tex3] a_1 = \frac{4^1 - 3^1}{7^1} = \frac{1}{7}[/tex3]
2º termo (n=2): [tex3]a_2 = \frac{4^2 - 3^2}{7^2} = \frac{16 - 9}{49} = \frac{7}{49} = \frac{1}{7}[/tex3]...

Denominadores: 4, 28, 70, 130, 208, ...
28 - 4 = 24
70 - 28 = 42
130 - 70 = 60
208 - 130 = 78
As diferenças formam uma progressão aritmética: 24, 42, 60, 78, ... com razão 18.

Os denominadores podem ser fatorados da seguinte forma:
4 = 1 . 4
28 =...

O suplemento de um ângulo 'x' excede em seus [tex3]\frac{4}{7}[/tex3] a medida de x
O suplemento de um ângulo "x" é [tex3]180^\circ - x[/tex3].
Exceder em seus [tex3]\frac{4}{7}[/tex3] a medida de "x'"
[tex3]180^\circ - x = x + \frac{4}{7}x [/tex3]...

Complemento (C): A aplicação repetida de C um número par de vezes resulta no próprio ângulo.
Suplemento (S): A aplicação repetida de S um número par de vezes resulta no próprio ângulo. A aplicação um número ímpar de vezes resulta no suplemento do...

Quando a operação S é aplicada um número par de vezes, o resultado é o próprio ângulo.
Um número ímpar de aplicações de S resulta em 180^∘ − ângulo.

A série é:
[tex3]SS_ \alpha+ SSSS_{3 \alpha}+ SSSSSS_{5\alpha}+ ... + \underbrace{SSSS ... S}_{n+1~vezes} = 81\alpha[/tex3]...

Ãngulo: x
Complemento de um ângulo: 90^o - x
Suplemento do complemento de um ângulo: 180^o - (90^o - x) = 90^o + x
Sexta parte do suplemento do complemento de um ângulo: [tex3]\frac{90^\circ + x}{6}(I)[/tex3]
Suplemento do ângulo: 180^o - x
Terça parte...

Seja x o ângulo que estamos procurando.

O complemento de x é [tex3]90^\circ - x.[/tex3]
O suplemento de x é [tex3]180^\circ - x.
[/tex3]
A soma entre o suplemento e o complemento de um ângulo x:
[tex3](180^\circ - x) + (90^\circ - x)
[/tex3]
O...