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Ponto médio de BC
△BEM≡△BNM, de onde:

[tex3]tan(x)=\frac{AB}{BC}=\frac{BE}{2BC}=\frac{BC}{4BC}⟹x=arctan(\frac{1}{4})≈\boxed{14^o}
[/tex3]

(Solução:Pie)

Ver gráfico para a definição de pontos\text{ Sem perda de generalidade definimos TN=1}\\ ABCD \text{ retângulo já que tem 3 ângulos retos}\\ \text{Temos então }\angle DBC=\angle BCA\\ \therefore \triangle CTN\sim\triangle BTM\text{ com razão...

Desenhando uma linha paralela a AB que passa por Q e intercepta MR no ponto J, obtemos o retângulo MHQJ e a congruência dos triângulos △RJQ ≅ △RNQ.

Sendo assim, HM = QJ = QN. Logo,:
[tex3] (BQ+QN) = \frac{BC}{2}\\ 7+HM = \frac{AB+12}{2}\\ = \frac{6+HM+BH}{2}\\ \therefore BH = \boxed{1}[/tex3]...

Traçar OF [tex3]\perp [/tex3] AB e OG [tex3]\perp[/tex3] AD
E = vértice do ângulo X
Sendo [tex3]\angle M = \theta \implies \angle AON = \theta \cong \angle GOE\\ \therefore \triangle OFN \cong \triangle OGE\implies ON=OE\\ \therefore \triangle MOE: tg \theta = \frac{1}{4} \implies \theta = 14^o \implies \boxed{x = 90+14 = 104^o} [/tex3]...

[tex3] \triangle ABC\text{ equilátero}\implies \angle BCA=60°\\ \tan\angle RQC=\frac{RC}{QR}=\frac{BC-BR}{QR}=\frac{BC-QR}{QR}\text{ já que $BPQR$ quadrado}\\ =\frac{\dfrac{4}{3}QR-QR}{QR}\text{ já que }3BC=4QR\\ =\frac{1}{3}\\ \therefore \angle RQC=\arctan(\frac{1}{3})\approx18,4°\\ \therefore \angle RCQ\approx 180-90-18,4\approx 71,6°\\ x=180-\angle RCQ-\angle BCA\approx180-71,6-60\approx 48,4° [/tex3]...

[tex3]4θ+2β=100^∘⟺β+2θ=50^∘x+Φ+3θ+2β=140^∘⟹x=40^∘+θ−Φ(1).[/tex3]
Por outra parte, [tex3]x+100^∘−θ+180^∘−(β+90^∘+Φ)=180^∘⟹x=θ+Φ+β−10^∘(2).[/tex3]
Portanto, de (1) e (2) se deduz que [tex3]β+2Φ=50^∘=β+2θ \therefore θ=Φ [/tex3] e assim [tex3]\boxed{x=40^∘}[/tex3]
(Solução:Anipascual)

Para os triângulos [tex3]\triangle ABP[/tex3] e [tex3]\triangle CBQ[/tex3]:
Lado: AB = BC
Lado: BP = BQ

[tex3]\angle ABC = 60^\circ \implies \angle ABP = 60^\circ - \angle PBC[/tex3].
[tex3]\angle PBQ = 60^\circ \implies \angle CBQ = 60^\circ - \angle PBC [/tex3]...

O triângulo é escaleno (lados diferentes) e seus lados são ímpares. Como AB=7 e BC=3, AC deve ser um número ímpar, diferente de 3 e 7.

A condição m∠ ABC > m∠ BCA significa que o lado oposto a [tex3]\angle ABC[/tex3] é maior que o lado oposto a [t...

α=∠COD=∠OCD[tex3]\rightarrow [/tex3] [tex3]0^∘<α=θ+20^∘<90^∘⟹θ<70^∘ \therefore \theta = 69^o [/tex3].
[tex3]\frac{DB}{sin(2θ)}=\frac{AB}{sin20^∘}⟺\frac{sin(2θ)}{sin20^∘}=\frac{DB}{AB} >1,[/tex3] já que DB=DO+OB=AB+OB; [tex3]\rightarrow [/tex3] [te...

∠ABP=∠CBP=α,∠APC=β,∠BCP=γ,
β=γ+2α+30∘.
Pelo teorema do seno: [tex3]\frac{BP}{sen30∘}=\frac{8}{senα} \implies BP = \frac{4}{sen\alpha}\\
\frac{BP}{senγ}=\frac{PC}{senα} \implies PC=\frac{4}{senγ}[/tex3].
Como 0 < γ < 90^∘⟹4 < \frac{4}...

PB = k
PC = 2k
PA = 3k

A desigualdade triangular afirma que, em qualquer triângulo, a soma dos comprimentos de dois lados deve ser maior que o comprimento do terceiro lado. Vamos aplicar isso aos triângulos formados:

No triângulo ΔPAB:
...

O triângulo (BNC) satisfaz: (BN=9), (NC=12) e o ângulo formado por esses dois lados é agudo.
Se fosse reto, o valor de (BC) seria (\sqrt{9^2+12^2}=15).
Como é agudo, é necessariamente **menor**, e assim o **máximo valor inteiro de (BC) é 14**.
...

Distribuindo os Ângulos: [tex3]\angle ABC = 3x\\ \angle BAC =180^o ~4x < 90^o \implies x > 22,5^o (I)\\\\ \angle B < 90 \implies 3x < 90^o \therefore x < 30^o(II)\\ de(I) e(II): 22,5^o < x < 30^o \implies 23^o ,24^o,25^o,26^o,27^o,28^o ,29^o\\ \therefore 7~valores [/tex3]...

Seja a base (hipotenusa) de 13 dividida em dois segmentos, m e n.
m + n = 13
x² = m.n

Para encontrar o valor máximo de x, precisamos maximizar o produto m.n.
O produto de dois números cuja soma é constante (m+n=13) é máximo quando os dois números...

Lei dos Cossenos:
[tex3]PN^2 = 74 - 70 \cos(\theta)[/tex3]
[tex3]
\theta [/tex3] é um ângulo obtuso, [tex3] 90^\circ < \theta < 180^\circ.
[/tex3]
Para [tex3] 90^\circ < \theta < 180^\circ \implies -1 < \cos(\theta) < 0.
[/tex3]
Valor ...

Pelo Teorema da Mediana:
[tex3]AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2)[/tex3]
Onde[tex3] BM = CM = \frac{BC}{2}.[/tex3]
[tex3]AM^2 = \frac{AB^2 + AC^2 - 2BM^2}{2}[/tex3]

Em um triângulo qualquer, a projeção de um lado sobre o outro (usando o Teorema do...

Seja [tex3](\alpha[/tex3]) o menor ângulo interno do triângulo (oposto ao lado de comprimento 1). O maior ângulo externo ([tex3]\theta[/tex3]) é o suplementar de ([tex3]\alpha[/tex3]), logo

[tex3]\theta = 180^\circ - \alpha \quad\Rightarrow\quad \alpha = 180^\circ - \theta.[/tex3]...

Em um triângulo retângulo, a soma dos dois ângulos agudos é igual a [tex3]90^{\circ}[/tex3].
Em um triângulo escaleno, todos os três lados são diferentes. Consequentemente, todos os três ângulos internos também devem ter medidas diferentes.

Seja...

Comprimento da hipotenusa AC.
[tex3]AC^2 = AB^2 + BC^2 =12^2 + 5^2 = 169\\
\therefore AC = 13[/tex3]
Como o segmento AC é girado em torno do ponto A para a posição AC', o comprimento do segmento não muda. Portanto, AC' = AC = 13

Triângulo ACC'. O...

O triângulo DRO é isósceles. ∠DOR = ∠ODR.
Em um triângulo, o maior lado é sempre oposto ao maior ângulo. Portanto, como o lado DO é maior que o lado OR, o ângulo oposto a DO (que é ∠DRO) deve ser maior que o ângulo oposto a OR (que é ∠RDO ou ∠ODR)....

Vamos considerar os quatro triângulos formados pela interseção das diagonais.

CM=CP+PM

No △CAP: CP<AP+AC⟹CP<AP+5

No △PMB: PM<PB+MB⟹PM<PB+7

Somando as duas desigualdades:
CP+PM<(AP+PB)+5+7
CM<(AP+PB)+12

Nós sabemos que AP+PB=16.
CM<16+1...

Para que os lados de um triângulo existam, cada lado deve ter uma medida positiva. Portanto, temos três condições:

[tex3]2a - 1 > 0 \implies 2a > 1 \implies a > \frac{1}{2}\\ 6 - a > 0 \implies 6 > a \implies a < 6\\ 3a - 1 > 0 \implies 3a > 1 \implies a > \frac{1}{3}[/tex3]...