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Ao calcularmos as 2024 primeiras potências do número 3 obtemos os números: 3¹, 3², 3³... 3²⁰^2⁴
Ao escolhermos ao acaso uma dessas potências de 3, qual é a probabilidade de que o algarismo das unidades seja 9?

A china tem um sério problema de controle de população. Várias políticas form propostas ( e algumas colocadas em efeito) visando proibir as famílias de terem mais de um filho. Algumas dessas politicas, no entanto, tiveram consequência trágicas. Por...

Laura e telma retiraram um bilhete cada de uma urna em que há 100 bilhetes numerados de 1 a 100. Qual é a probabilidade de que o número retirado por Laura seja maior do que o de Telma? O resultado é o mesmo se depois de uma delas retirar um número o...

Uma permutação dos inteiros positivos 1, 2, 3, ..., n satisfaz a seguinte condição: cada número é maior que ou menor que todos os números em sua frente. Quantas tais permutações existem?

Seja [tex3]x \in \mathbb{R} [/tex3], tal que [tex3]f(x)[/tex3] satisfaça [tex3]f(x)^3 - f(x)^2 - x^2f(x) + x^2 = 0[/tex3]

Quando o valor máximo de [tex3]f(x)[/tex3] é [tex3]1[/tex3] e o mínimo de [tex3]f(x)[/tex3] é [tex3]0[/tex3], qual é o valor...

Determine todos os inteiros não negativos [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] tais que [tex3]2^x+5^y[/tex3] é um quadrado perfeito.

Prove que o polinômio [tex3](a+b+c)^{3333}-a^{3333}-b^{3333}-c^{3333}[/tex3] é divisível pelo polinômio [tex3](a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3.[/tex3]

Para todo número real [tex3]b[/tex3], seja [tex3]f(b)[/tex3] o valor máximo da função para todo [tex3]x\,\,\in\,\,\mathbb{R}[/tex3]. Determine o valor mínimo de [tex3]f(b)[/tex3] para todo [tex3]b\,\,\in\,\,\mathbb{R}[/tex3].

Considere a sequência de números reais postivos [tex3]a_0,a_1,a_2....[/tex3] definida por: [tex3]a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}[/tex3] para todo [tex3]n\geq 0[/tex3]. Mostre que para qualquer valor de [tex3]a_0[/tex3], sempre se tem [tex3]a_{1996}>63[/tex3].

Se [tex3]x \,\in\,\[-\frac{5\pi}{12},\,-\frac{\pi}{3}\][/tex3]. Calcule o valor mínimo da expressão:

[tex3]tg\(x + \frac{2\pi}{3}\) - tg\(x + \frac{\pi}{6}\) + cos\,\(x + \frac{\pi}{6}\)[/tex3]

Calcule a probabilidade de que um número escolhido aleatoriamente sendo este positivo e divisor de [tex3]10^{99}[/tex3] seja um número inteiro múltiplo de [tex3]10^{88}[/tex3].

Prove que:

[tex3](\tg1^{\circ} \cdot \tg2^{\circ} \cdot \tg3^{\circ} \cdot ... \cdot \tg44^{\circ})^{\frac{1}{44}}\,<\,\sqrt{2}-1[/tex3]

Determine as raízes reais da equação [tex3]\sqrt[5]{33-x}+\sqrt[5]{x}=3[/tex3]

(Alemanha 1997) Determine todos os primos [tex3]p[/tex3] para os quais o sistema [tex3]\small\begin{cases} p + 1 = 2x^2\\p^2 + 1 = 2y^2\end{cases}[/tex3] tem uma solução nos inteiros [tex3]x, y[/tex3].

Essa é uma questão disponível nos materiais do...

Um pentágono regular está inscrito em uma circunferência. Dentro do pentágono há um pentagrama ligado ao seus vértices. Calcule a área do pentágono menor formado pelo pentagrama, sabendo que a medida do raio da circunferência (R) é igual a 5cm.

(Torneio das Cidades 1998) É possível que [tex3]mmc(a, b) = mmc(a + c, b + c)[/tex3] para alguma conjunto [tex3]\{a, b, c\}[/tex3] de inteiros positivos?

Vi a solução desse problema no POTI: mostra-se por absurdo. Porém, não entendi determinada...

Calcule o valor da soma:

[tex3]\sum_{k=1}^{4013} \frac{1}{2005^{k-2007}}[/tex3]

(OCM/98) Determine todos os inteiros positivos N de três dıgitos tais que N e a soma dos seus dıgitos seja divisıvel por 11.

(Áustria/Polônia-99) Sejam [tex3]n[/tex3] um inteiro positivo e [tex3]M = \{1,\,2,\,...,\,n\}[/tex3]. Determine o número de maneiras de formar seis subconjuntos [tex3]A_1[/tex3], [tex3]A_2[/tex3], [tex3]A_3[/tex3], [tex3]A_4[/tex3], [tex3]A_5[/tex3]

Calcule o valor da soma

[tex3]\sum_{k=1}^{4013} \frac{1}{2005^{k-2007}}[/tex3]

No quadrilátero ABCD abaixo, os pontos M,N,P e Q são pontos médios dos lados AB,BC,CD e DA, respectivamente. Sabendo que a área hachurada é de 20cm², determine a medida da área do quadrilátero EFGH, em cm².
A)18
B)20
C)22
D)24
E)16

Antes de começar, alguém consegue me dizer que instituição é essa? Não encontrei nem o nome e nem os enunciados das provas dela pela net.

Questão:
Um dos fatores primos de 1280000401 é:
a)421
b)431
c)433
d)439
e)443

No triângulo ABC o ângulo C mede 120° e o lado AC é maior que o lado BC. Sabendo que a área do triângulo equilátero de lado AB é 31, a área do triângulo equilátero de lado AC-BC é 19, calcule a área do triângulo ABC.
A)8
B)4
C)12
D)6
E)7

Seja ABC um triângulo escaleno de área 7. Seja A1 um ponto do lado BC e sejam B1 e C1 nas retas AC e AB, respectivamente, tais que AA1, BB1 e CC1 são paralelas. O valor da área do triângulo A1B1C1 é:
A)16
B)15
C)14
D)21
E)12