Estude! Com Prof. Caju

M__________N_______P_____________Q
MN=y, NP=x e PQ=3x

[tex3]\mathsf{3y + y+4x=4\\
4(y+x)= \therefore \boxed{\color{red}y+x =MP=1}}[/tex3]

Sejam:

[tex3]\overline{AB}=x\\\overline{BC}=y\\\overline{CD}=z[/tex3]


As equações acima podem ser descritas como:

[tex3]\mbox{I.}\,\,\,\,\,\,\,z=4(x+y)\\\mbox{II.}\,\,\,\,\,(y+z)-4x=20[/tex3]


Em [tex3]\mbox{I}[/tex3], note que...

[tex3]\mathsf{ AB = a\\ BC = b\\ CD = c\\ DE = d\\ EF=e\\ b+c+d=\frac{5}{8}(a+b+c+d+e)\implies a+b+c+d+e =\frac{8}{5}(b+c+d) \\ a+b+b+c+c+d+d+e=91\implies \frac{8}{5}(b+c+d)+(b+c+d) =91\\ \therefore(b+c+d) = 35=\frac{5}{8}AF\\ \therefore (a+b) = \frac{3}{8}AF \implies a+b = 21\therefore \boxed{\color{red}AF=21+35=56 } }[/tex3]...

Notação

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Bem, eu já estava num ponto que estava tentando qualquer coisa, até que por fim, encontrei um caminho surpreendentemente simples. Eu não diria que é um ideia que eu teria logo de cara, afinal, eu não teria ela, logo, não diria que cheguei...

[tex3]\mathsf{ AC = a\\ AB = b\\ BD = C\\ Média~Geométrica: AC^2 = AD.BD\implies a^2 = bc+c^2\\ C= 2.(\frac{AD.AB}{AC.CD}-\frac{AD}{AC}) \implies 2.(\frac{AD.AB-AD.CD}{AC.CD})\\ 2[\frac{(b+c).(b-(b+c-a))}{a(b+c-a)}]=2.[\frac{(b+c)(a-c)}{ab+ac-a^2}]=2.(\frac{ab-bc+ac-c^2}{ab+ac-a^2})\\ 2.(\frac{ab+ac-(\underbrace{bc+c^2}_{a^2})}{ab+ac-a^2)})=2.(\frac{\cancel{ab+ac-a^2}}{\cancel{ab+ac-a^2}})\\ \therefore \boxed{\color{red}C=2} }[/tex3]...

Determinando a Reta

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[tex3]P\underbrace{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-}_aQ\underbrace{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-}_bR\underbrace{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-}_cS[/tex3]


Logo, seguindo a definição de quartetos...

Problema com "vício". Com as configurações fornecidas não se chega ao resultado conformefigura em anexo..

[tex3]\mathsf{CD = x\\ AB=2x\\ BC = y\\ y^2 = 2x.x \implies y =x\sqrt2\\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y+x}=\frac{1}{\sqrt2}\implies \frac{1}{x}+\frac{1}{x\sqrt2+x}=\frac{1}{\sqrt2}\implies\\ (x\sqrt2+2x)(\sqrt2)=x(x\sqrt2+x) \\ \therefore x = 2 \implies \boxed{\color{red}AB=2x = 2.2=4} }[/tex3]...

[tex3]\mathsf{ AC = x\\ CM = y\\ CB = x\\ MB=x-y\\ (x+y).2x = 8 \implies x(x+y)=4\\ \frac{1} {2MB} = \frac{2}{x+y}-\frac{1}{x}\implies \frac{1}{2MB} = \frac{2x-x-y}{x(x+y)}\implies\\ x(x+y)=2MB(x-y)\implies 2MB^2=4\therefore \boxed{\color{red} MB =\sqrt2} }[/tex3]...

Construção da Reta

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Com os elementos do enunciado, podemos constituir a seguinte reta:

[tex3]a_1-\!\!\!-\,\,\,a_2-\!\!\!-\,\,\,a_3-\!\!\!-\,\,\,a_4-\!\!\!-\cdots-\!\!\!-\,\,\,a_{n-3}-\!\!\!-\,\,\,a_{n-2}-\!\!\!-\,\,\,a_{n-1}-\!\!\!-\,\,\,a_n [/tex3]...