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n = n. lados
m = n. vértices consecutivos
[tex3]n_d = m.n - \frac{(m+1)(m+2)}{2}\rightarrow 21 =(4n)-\frac{(4+1)(4+2)}{2}\rightarrow \\
21 = 4n - 15\rightarrow \therefore \boxed{\color{red}n =9}
[/tex3]

[tex3]a_i = 180^o\frac{(n-2)}{2} = 180.\frac{5}{7} = \frac{900^o}{7}\\ \measuredangle FGE = \frac{1}{2}(180-\frac{900}{7}) = \frac{180^o}{7}\\ \measuredangle AGH = \frac{900}{7}-\frac{180}{7} = \frac{720}{7}\\ GE \parallel AD\rightarrow \measuredangle GHA = \measuredangle HAD(alt.int.)\\ \triangle GAH (isósceles): \theta = \frac{1}{2}(180-\frac{720}{7}) = \frac{1}{2}\cdot\frac{540}{7}\\ \therefore \boxed{\color{red}\theta =\left(\frac{270}{7}\right)^o }[/tex3]...

[tex3]D_1-D_2 = 15\rightarrow \frac{n_1(n_1-3)}{2}-\frac{n_2(n_2-3)}{2}=15\rightarrow \boxed{n_1^2-3n_1 - n_2^2+3n_2=30}(I)\\ \boxed{n_1-n_2=3\rightarrow n_1 = 3+n_2}(II)\\ (II) em (I):(3+n_2)^2-3(3+n_2)-n_2^2+3n_2=30\rightarrow 9 +6n_2+n_2^2-9-3n_2-n_2^2+3n_2 =30\rightarrow\\ 6n_2-30=0 \implies \boxed{\color{red}n_2= 5} \rightarrow n_1 =8 [/tex3]...

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Como [tex3]\angle AOB = 120^{\circ}[/tex3], a lei dos cossenos no [tex3]\triangle AOB[/tex3] diz que:

[tex3]AB^2 = 2R^2 + 2R^2 \cdot \frac 12 = 3R^2 \implies AB = R \sqrt3[/tex3]

Potência de [tex3]M[/tex3]:

1...

[tex3]a_i = 180^o\frac{(n-2)}{n}\\ a_e = \frac{360^o}{n}\\ \frac{a_i}{a_e}=\frac{11}{2}\rightarrow \frac{n-2}{2}=\frac{11}{2}\rightarrow 2n-4 = 22\\ \therefore n = 13\rightarrow D_m = \frac{n(n-1)}{2}=\frac{13(13-1)}{2}=\frac{13.12}{12}\\ \therefore \boxed{\color{red}D_m = 78}[/tex3]...

[tex3]OO_1=d\\\frac{FF_1+CC_1}{2} = d \\
\frac{A_1A+D_1D}{2}=d\\
\frac{EE_1+B_1B}{2}=d\\
\therefore \underbrace{FF_1+CC_1+A_1A+D_1D+EE_!+B_1B}_{=18}=2(3d)\\
18 = 6d \therefore \boxed{\color{red}d = 3} [/tex3]
(Colaboração: achile hui)

[tex3]a_i = \frac{180(n-2)}{n}=\frac{180.3}{5}=108^o\\AM = AB =ME\\\measuredangle MDE = 54^o (bissetriz~ de~ \measuredangle D)\\\begin{cases} 48^{\circ} + 2\alpha = 180^{\circ} \Leftrightarrow \alpha = 66^{\circ} \\ 108^{\circ} - \alpha + 54^{\circ} + x = 180^{\circ} \Leftrightarrow \boxed{\boxed{ \color{red}x = 84^{\circ} }} \end{cases}[/tex3]...

[tex3]45^{\circ}=\measuredangle EMC=\measuredangle EBC+\measuredangle ACB=\frac{1}{2}\left(\widehat{EC}+\widehat{AB}\right)\\ =\frac{1}{2}(\widehat{2AB}+\widehat{AB})=\frac{3}{2}\widehat{AB}=\frac{3}{2}\cdot\frac{360^{\circ}}{n}\\ \therefore 45 = \frac{3.360}{2n}\rightarrow 45n =540 \therefore \boxed{\color{red}n = 12} [/tex3]...

[tex3]a_i = \frac{180^o(n-2)}{n}\\ n_1 =\frac{2n}{3}\\ \frac{180 (n-2)}{n}-10 = \frac{180( \frac{2n}{3}-2)}{\frac{2n}{3}}\\ \frac{180 (n-2)}{n}-10 = \frac{270( \frac{2n}{3}-2)}{n}\\ \cancel{180n} -360 - 10n = \cancel{180n} -540 \rightarrow 10n = 180\\ \therefore \boxed{\color{red}n=18} [/tex3]...

m = n. lados consecutivos
n = número de lados do polígono
[tex3]D_m = mn-\frac{m(m+1)}{2}=50\rightarrow 100 = 8n - 20 \rightarrow\\
\therefore n = 15\\
a_e = \frac{360^o}{n}= \frac{360^o}{15} \therefore \boxed{\color{red}a_e = 24^o}[/tex3]

[tex3]a_e = \frac{360}{n} \rightarrow Menor ~ n \rightarrow Maior ~a_e\\ \frac{360}{n}-\frac{360}{n+1}=12\rightarrow360n+360 - 360n = 12n^2+12n\rightarrow\\ 12n^2+12n-360 = 0\rightarrow n^2+n - 30 = 0 \therefore \cancel{n = -6} ~ou~ n=5 \rightarrow n+1 = 6\\ \therefore \boxed{\color{red}n=5} [/tex3]...

[tex3]\mathsf{Traçar~ DB\\ \angle DAB = 90^o - \theta=\angle AHB(\triangle AHB:isósceles)\\ B: ponto~ médio ~AM~\\ BH =BM\\ \overset{\LARGE{\frown}}{AC} =\overset{\LARGE{\frown}}{AF}\therefore \angle ABF = \angle ADC\implies \\ \triangle ABF \sim\triangle MBC(\angle ADC = \angle CBM)\\ \frac{AB}{BF} = \frac{BC}{MB}\implies AB^2 = BC.BF=48\\ \therefore \boxed{\color{red}AB =BM = 4\sqrt3} }[/tex3]...

[tex3]∠CFI=108^∘[/tex3], portanto [tex3]∠CDF=∠DFC=180^∘−108^∘=72.[/tex3]

Portanto [tex3]∠FCD=180−(2⋅72^∘)=36^∘[/tex3].[tex3]\rightarrow [/tex3] [tex3]∠GCD=108^∘+36^∘=144^∘[/tex3].

Como △GCD é isósceles [tex3]\rightarrow [/tex3]...

Suponha que cada equipe seja um vértice de um polígono com n vértices. Cada correspondência é representada por um lado ou diagonal do polígono, associando aleatoriamente um índice i = 1,2,…, n para cada equipe. Cada time joga n-1 partidas

T1 joga...

Considere o quadrilátero PHIF, como HF||PI, temos: [tex3]\angle PFH=\angle FPI=30° [/tex3], além disso, é fácil ver que [tex3]\angle IFH=\angle IHF=45°[/tex3], então [tex3]\angle IFP=45°-30°=15°[/tex3] e [tex3]\angle HIP=\angle IHF=45°. [/tex3]...