Estude! Com Prof. Caju

Letra c) é maior que a soma dos raios

a) V
b) F - menor
c) dois pontos
d) menor

Raio i do incírculo de um triângulo [ABC] retângulo em C, é dado por [tex3]i=\frac{a+b−c}{2}.[/tex3]
Como [CAH] e [BCH] são retângulos em H [tex3]\rightarrow j=\frac{AH+HC−CA}{2}=\frac{AH+h−b}{2} ~e~ k=\frac{CH+HB−BC}{2}=\frac{h+HB−a}{2}[/tex3]...

[tex3]\triangle ABC \sim A'B'C'\implies \measuredangle ABC = \measuredangle A'B'C'\implies \overset{\LARGE{\frown}}{A'C'}=\overset{\LARGE{\frown}}{C'A'} \\ \measuredangle B = \frac{\overset{\LARGE{\frown}}{C'A'}}{2} =\frac{180}{2} \therefore\boxed{\color{red}\ \measuredangle B = 90^o} [/tex3]...

Sendo B o centro do círculo menor.
B, G e F são colineares e BG=BD and FG=FE.
\measuredangle DIE = 360 - 180 - 40 = 140^\circ\\ x=\measuredangle DGB+\measuredangle EGF\\\measuredangle ABF = 2\measuredangle DGB \implies \measuredangle DGB =...

eu to encontrando um valor diferente do gabarito:

Como o círculo está inscrito no triângulo retângulo, então:

[tex3]r = \frac{b+c-a}{2}[/tex3]
"a" é a hipotenusa, que é igual ao diâmetro da circunferência maior, portanto:

r =...

[tex3]\measuredangle APQ \implies \overset {\LARGE{\frown}}{ADQ}=260^O \therefore \measuredangle AOQ = 100^o\\ \triangle AQD(retângulo) \measuredangle OAQ = \measuredangle OQA = 40^o\\ \measuredangle ODQ = \measuredangle OQD = 50^o\\ \triangle ABD (isosceles) \therefore \measuredangle PAQ =30^o \implies \theta = 20^o\\ \therefore \boxed{\color{red}x = 90+20 = 110^o} [/tex3]...

[tex3]17^2 = 15^2 + 8^2\therefore \triangle ABC(retângulo)\\ S \triangle ABC =r.p\\ \text{r =raio da circunferência inscrita} \\ \text{p=semiperímetro (metade do perímetro)}\\ \therefore \frac{8.15}{2}=r.\frac{(8+15+17)}{2} \rightarrow120 = 40r\\ \therefore \boxed{\color{red}r = 3 }[/tex3]...

[tex3]AS = a \\ AD =a +R DK = R\\ AH = a \implies HI = 2R\\ BED(colineares) \\ \triangle ECM(1:2)\implies ME = 2R\sqrt2\\ \measuredangle DEM = 30^o\\ NECI: \measuredangle ENI = 135^o \implies \measuredangle ENA=45^o\\ Região~Sombreada: \\ x+ 45^o=30^o+45^o(propriedade)* \\ \therefore: \boxed{\color{red}x = 30^o}[/tex3]...

Seja AP = x
[tex3]△APO∼△QPC. \therefore \frac{R}{x}=\frac{x+8}{2R} \rightarrow 2R^2=x(x+8)(I)\\ AQ=AP, \measuredangle FPA = \measuredangle AQF = \measuredangle FQC \therefore BQ~é~bissetriz ~∠AQC, \triangle AQC=\frac{CQ}{3}=\frac{x}{5}\therefore\frac{3x}{5}\\ Pitágoras~em~ △ACQ: (\frac{3x}{5})^2+(x+8)^2=4R^2=2x(x+8)(De~ I)\\ 9x^2-25x^2+1600 = 0 \therefore \boxed{\color{red}x=10}[/tex3]...

Teorema 1:^*: a área de um triangulo retângulo é igual ao produto dos raios das duas circunferências ex-inscritas que são tangentes aos catetos.
Teorema 2: A área de um triângulo é dada por (p-a)r_a =(p-b)r_b=(p-c)r_c onde r_x são os raios das...

Traçando a reta que liga os centro teremos um pentágono [tex3]QSO_AO_CT[/tex3]

[tex3]O_AMS =\measuredangle 2a (\measuredangle a ~é~ inscrito)\\ NO_CT =\measuredangle 2c (\measuredangle c ~é~ inscrito)\\ \measuredangle b =\measuredangle MBN = 90^o\\ S_ {a_ipentágono} = 540 \rightarrow 270+ 2a + 2c=540 \therefore a+c = 135^o\\ \boxed{\color{red}a+b+c = 135+90 = 225^o} [/tex3]...

Traçar OT
[tex3]\triangle MBN \sim \triangle TNO \\
\frac{2}{6} = \frac{R}{6+R}\implies 12+2R=6R\therefore \boxed{\color{red}R= 3}[/tex3]

Problema com "vício" pois alterando-se o diâmetro altera-se o tamanho do inraio.

[tex3]\measuredangle BDA = \alpha\\ \triangle BAC, \triangle ABC ~e~\triangle BCD (isosceles)\\ \measuredangle DAC = 45-\alpha\\ \measuredangle BCA = 45^o\\ \measuredangle BCD = \alpha + x\\ \triangle ACD: 45-\alpha + 45+\alpha+x+x = 180\rightarrow 2x = 90 \therefore \boxed{\color{red}x = 45^o}[/tex3]...

[tex3]\triangle MNO(isosceles): ^*OQ = altura\implies \measuredangle MOQ=\measuredangle QON\\
MEOQ (inscritível^{**})\implies \measuredangle Q + \measuredangle E = 180^0 \therefore \boxed{\color{red}x = 50^o}[/tex3]

*Segmento que passa pelo ponto...

[tex3]HB = HA (tangentes) = \alpha\\ \measuredangle CEA = \theta(\angle segmento) = \measuredangle CDE\\ ABDE: \alpha+\alpha+\theta+90+\theta = 360^o \implies \alpha+\theta = 135^o\\ \triangle AFE:\underbrace{\alpha+\theta}_{={135}}+x = 180\\ \therefore \boxed{\color{red}x=45^o} [/tex3]...

[tex3]OB = R: O_1 = \frac{R}{2}\implies \triangle O_1BO (1:2) \implies \measuredangle B = \frac{53^\circ}{2} \\ \therefore \measuredangle AO_1B = 127^\circ\\ \measuredangle ECO=\measuredangle EDO = x\implies \measuredangle DCA = 90^o - x ~e~ \measuredangle CAD = x\\ AD = BD(I)\\ \triangle BCO \sim \triangle BDA\rightarrow\frac{BC}{BD} = \frac{R}{2R}\therefore BD = 2BC\implies BC = CD(II)\\ De(I)e(II): \triangle ADC(1:2) \therefore\boxed{\color{red}x=\frac{53^o}{2}=26,5^o} [/tex3]...

Traçar a tangente por P
Prolongar BM até encontrar a tangente em G
Perpendicular em A até a tangente em E
Pelo teorema da Bissetriz: FP = PH e PG = PH portanto FG = 2PH
[tex3]AM = FG = 2PH \rightarrow 8\sqrt2 = 2 PH \therefore \boxed{\color{red}PH = 4\sqrt2}[/tex3]...

[tex3]\measuredangle JAC = 50^o(a.inscrito)\\ JA \parallel FH(por ~propriedade*)\implies \measuredangle DHF = \measuredangle JAC = 50^o\\ \measuredangle JAC (a.inscrito) \implies \measuredangle DEF =2\measuredangle JAC \therefore \boxed{\color{red}\measuredangle DEF = 100^o} [/tex3]...

[tex3]PD = AD = \sqrt 7[/tex3]
[tex3]\angle PAD = 60^{\circ} \implies \angle PQD = \frac{360^{\circ}-60^{\circ}}2 = 150^{\circ}[/tex3]

Lei dos cossenos no [tex3]\triangle PQD[/tex3]:

[tex3]PD^2 = QD^2 + QP^2 - 2 QP \cdot QP \cdot \cos (150^{\circ})[/tex3]...