Estude! Com Prof. Caju

O = circuncentro
[tex3]\mathsf{Ligue ~P ~a~ T, \implies ΔPOT \cong ΔBOC (L.A.L)\\
TPO=PCB=\theta\\
\angle CPB = 90°-theta \implies \angle TPB=90°\\\therefore
BT oposto~ a ~um ~ângulo ~de~ 90°\implies BT ~é ~diámetro}[/tex3]

BC=90°.( tendo em...

(Solução:jvmago - viewtopic.php?f=4&t=63004&hilit=Calcula ... b&start=20)

[tex3]\mathsf{△ATB (retângulo):∠ATB=90^∘.\\ Trace ~PE \perp BQ (E \in BQ) \implies AB=PD=2\sqrt{r.R} = 2\sqrt2(^*propriedade)\\ △QBH∼△QPD⟹QH=\frac{2}{3},BH=\frac{4\sqrt2}{3}\\ TH=TQ−HQ=\frac{4}{3}\\ BT=TH^2+BH^2=\frac{4}{\sqrt3}\\ inraio : \frac{a+b−c}{2} \\ \therefore Inraio △BTH=\frac{(2\sqrt2+1−\sqrt3)}{3}\\ △BTH∼△BTA, inraio △BTA \implies r=\frac{\sqrt3}{2}.\frac{2(\sqrt2 +1 -\sqrt3)}{3}\therefore \boxed{\color{red}r \approx 0,55}}[/tex3]...

[tex3]BH^2 = x^2+y^2\\ \triangle AHB: x^2 = ay\\ \triangle BHC: y^2 = x.c\\ \triangle ABC: b^2 = (a+y)^2+(c+x)^2\implies\\ b^2-a^2-c^2 = 2ay+2cx+\underbrace{y^2+x^2}_{BH^2}\rightarrow\\ b^2-a^2-c^2=2(ay+cx) +BH^2\rightarrow\\ b^2-a^2-c^2 = 2(\underbrace{x^2+y^2}_{BH^2})+BH^2\\ \therefore \boxed{\color{red}BH = \sqrt \frac{b^2 - a^2- c^2}{3}}[/tex3]...

[tex3](4-r)^2=r^2+r^2\rightarrow r=4\sqrt2-4[/tex3]



Definições:
\mathsf{\overline{OQ}=\overline{O'Q}=\overline{PQ}=r=4\sqrt2-4\\ \overline{OC}=\overline{O'C}=R+r=4\sqrt2-4+R\\......

[tex3]Q = AM \cap BL\\PB = x\\
PA = y[/tex3]
Considere o quadrado que circunscreve o círculo e tem P como vértice, dele podemos concluir que
[tex3]\mathsf{x + 1 = y+2 = 2R\\ Pit. \triangle MQL:(x-1)^2 + (y-2)^2 = (2R)^2 \iff (2R-2)^2 + (2R-4)^2 = (2R)^2\\ (R-1)^2 + (R-2)^2 = R^2\\R^2 - 6R + 5 = 0\\ \therefore \boxed{\color{red}R=5}}[/tex3]...

X = ponto de contato dos dois círculos
Y = ponto de contato de AO com o círculo menor.
Da homotetia
[tex3]\angle YXK = \frac{90}2 = 45[/tex3]
Portanto o raio do círculo menor é 2
o centro do cículo menor está na diagonal do quadrado KOYG então o...

Seja P' o reflexo de P na mediatriz de AB, como T é imagem da reflexão de K nessa mediatriz então
[tex3]P'T = b \implies PP' = |a-b|[/tex3]
Trace uma perpendicular a TK por P' e deixe ela encontrar a diagonal BD no ponto P'' .
Então P'O é...

[tex3]\mathsf{ \triangle ODA: R^2+20^2 = AO^2 \implies AO = \sqrt{400+R^2}\\\triangle OEM \sim OAD\\ \frac{MO}{DO} = \frac{EO}{AO} \implies \frac{MO}{16}=\frac{4}{\sqrt{400+R^2}}\\ \therefore MO = \frac{64}{\sqrt{400+R^2}}\\ \triangle OAC: R^2 = MO.AO \implies MO = \frac{R^2}{\sqrt{400+R^2}} \\Substituindo:\frac{R^2}{16\sqrt{400+R^2}}=\frac{4}{\sqrt{400+R^2}}\\ \therefore R^2 = 64 \therefore \boxed{\color{red}R = 8} }[/tex3]...

[tex3]\mathsf{\triangle EFG: cos 30^o = \frac{FG}{EF}\\ mas ~FG = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}\\ \therefore \frac{\sqrt3}{2} = \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2EF}\implies \boxed{\color{red}EF =\frac{\sqrt3 \sqrt{a^2+b^2}}{3}} }[/tex3]...