Estude! Com Prof. Caju

[tex3]\mathsf{AQ = QB = x\\
T.Cordas: AQ.QB = FQ.QE\implies x^2 = 4.9 \\
\therefore \boxed{\color{red}x=AB = 6}}[/tex3]
(Solução:Geobson)

AQ = x+2, BC = x+1 e AB = x
[tex3]\mathsf{T.Tangente: (x+2)^2 =x(2x+1)\implies x^2+4x+4 =2x^2+x\\
x^2-3x - 4=0 \therefore x =4\\
\boxed{\color{red}AQ = (4+2) = 6}} [/tex3]

[tex3]\mathsf{ABC = ED, \implies \angle FEC=\angle DCE\\ \therefore EF// DC, (FEC ~e ~DCE ~são~ alternos~ internos)\\\therefore \angle EFD= \angle CDF\\ ΔCDN \sim ΔENF \therefore \frac{4}{12} = \frac{NC}{EN} \implies EN= 3NC.\\ Potência~de~ Ponto: EN.NC= 4.3=12\\ 3NC^2 = 12 \therefore NC= 2\\ mas ~EN= 3NC, \therefore \boxed{\color{red}EN= 3.2 =6}}[/tex3]...

[tex3]\mathsf{\triangle CDP:notável(3k-4k-5k) \therefore PD=25\\
Potencia~ de~ ponto:25=x.25 \implies \boxed{\color{red}
x=1}}[/tex3]
(Solução: jvmago - viewtopic.php?f=4&t=88928&p=245292&hili ... 0.#p245292)

OC = Diâmetro
[tex3]\mathsf{\Delta_{AOC} : AC^2 = R^2+(2R)^2\rightarrow AC = \sqrt{5} R\\
AC.DC =CE.BC\rightarrow \sqrt{5}R.DC=3R.R\\
DC = \frac{3R^2}{\sqrt{5}R}=\boxed{\color{red}\frac{3R\sqrt{5}}{5}}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{ T.Cordas:\\ PR.RS= AR.BR\\
4.2 = AR. BR \implies AR.BR = 8\\
QR.RT=AR.RB \\
1.(2+ST) = 8 \therefore \boxed{\color{red}ST =6}}[/tex3]
(Solução:Geobson)

[tex3]\mathsf{T.Tangente:\\
PT^2 =PA.PB =4.26 = 24\\
PT^2 = PC. PD\implies 24 = 3(3+CD)\\
\therefore \boxed{\color{red}CD=5}
}[/tex3]
(Solução: Geobson)

[tex3]\mathsf{T.Ptolomeu:\\
FA*BC+FB*AC=AB*FC\\mas~AB = BC=AC\\
\therefore Simplificando:\boxed{\color{red}FC=FA+FB=8+9=17}}[/tex3]
(Solução:jvmago - viewtopic.php?f=4&t=74776&p=203493&hili ... FC#p203493)

[tex3]\mathsf{\triangle ABC: Traçar~CD \perp AB(D \in AB)\\BC^2 = BD.AB = 2.8 \therefore BC = 4\\ AC^2=8^2-4^2 \implies AC^2 = \sqrt{48} \therefore AC = 4\sqrt3\\ Por~homotetia:AM=CM = \frac{AC}{2} =2\sqrt3\\ (\triangle AMO \sim \triangle ACB: \frac{AM}{AC} = \frac{AO}{AB}=\frac{4}{8} = \frac{1}{2})\\ Potência~em ~C: CT^2 = CM.AC\implies CT^2 = 4\sqrt3.2\sqrt3 = 24 \therefore \boxed{\color{red}CT = 2\sqrt6}\\ }[/tex3]...

[tex3]\mathsf{E = AD \cap CK \text{ onde K está na circunferência e contida no prolongamento de PQ }\\ PK~ é~ bissetriz\\ Como~ BC \parallel AD \implies AB=CD\\ CK-~ é~ bissetriz\\ T. Bissetriz ~Interna: \frac{AC}{CD}=\frac{8}{x}\\ Como ~AB=CD ~e~ AD\parallel BC \implies ABCD (trapézio~ isósceles)\\ \therefore BD=AC \\ \frac{AC}{CD}=\frac{BD}{AB}=4=\frac{8}{x} \therefore \boxed{\color{red}x=2}}[/tex3]...

Seja K a segunda intersecção de PC com o círculo à esquerda (diferente de P obviamente).
Então como PB⊥AK e B é centro do círculo então a reta PB é mediatriz da corda AK e isso implica que PB é, em particular, bissetriz de PA e PK , sendo assim PD é...

petras,
Ligue AP, CP e AR. Além disso, chamaremos de E o ponto comum às retas DR e PQ. Seja [tex3]θ=\angle BRC[/tex3] Pelo lema da estrela da morte, obtemos que [tex3]\angle ARB=\angle BRC=θ[/tex3] e [tex3]\angle APQ=\angle CPQ=90\degree-θ[/tex3]...

"Um ângulo inscrito e outro semi-inscrito que correspondem a mesma corda (ou arco) na mesma circunferência, são iguais."
[tex3]\mathsf{∠BAD=∠BDC=α\\ ∠DBC=∠CDr=∠ADt=∠ABD=∠PDA=∠DPC=∠DCP=β\\ \therefore △PAD≃△BCD~e~ PD=CD\\ T. Tales: \frac{PD}{PA}=\frac{BC}{CD}⇒CD^2=ab ⇒ \boxed{\color{red}CD=\sqrt{ab}}}[/tex3]...

petras,
Seja [tex3]R=AC=CO=OG=GB[/tex3]
Dado que EG é mediatriz, é fácil achar que [tex3]OE=OB=2OG\implies \angle OEG=30\degree\therefore R=1[/tex3]
Daí, [tex3]CE=\sqrt{(2R)^2+3}=\sqrt7=\sqrt{EH^2+1^2}\therefore EH=ED=\sqrt6[/tex3]

M o ponto que PD toca a circunferência tal que

\mathsf{PM = m ~e~ BD = n\\ \triangle MAD \implies C~é~ponto ~médio \overset{\LARGE{\frown}}{MD}(^*Lema~Estrela~Morte) \\ \therefore CD=CM=b\implies \triangle MCD (isósceles-reto)\therefore...

[tex3]AG = \frac{CD}{2} = \frac{4}{2} = 2 \implies EG = BE = 1\\ \perp GB (E \in GB): EGO = 45^o\\ cos45^o = \frac{EG}{GO}\implies \frac{\sqrt2}{2} = \frac{1}{GO} \therefore GO = \sqrt2\\ OE = \frac{\sqrt2}{2}.OG = 1\\ \triangle AOB: T.Euclides:\\ OB^2=OA^2+AB^2-2AE..AB \implies \sqrt2^2 = OA^2+4^2-2.3.4 \\ \therefore OA = \sqrt10\\ \triangle AOM (isósceles) \therefore \boxed{\color{red}OM = AO = \sqrt10}[/tex3]...

[tex3]\mathsf{\text{Potência de ponto nos segmentos AC e EF, juntamente com os segmentos BD e EG}\\ ABxBC= EBXBF = 4x3=BEx6, BE=CD=2.\\ ECxCG=BCxCD, ECxCG=3x2=6.\\ \text{Há dois casos nessa multiplicação:}\\ 1) CG=1 ~e ~EC=6 →→ 1x6=6\\ 2) CG=2 ~e ~EC=3 →→ 2x3=6\\ \text{Porem, o 1) Não pode ocorrer, pois , pela desigualdede triângular no ΔBCE}\\ BC+EB > EC, 2+3 > 6 → \cancel{5 > 6} }[/tex3]...

TEOREMA DE BOOTH

Num triângulo ABC, de lados a, b e c, os pontos D, E e F são pontos médios de cada lado. O ponto G é o baricentro do triângulo. Então, a soma dos quadrados das medianas é igual a três quartos da soma dos quadrados dos lados do...

Por Potência:
[tex3]\mathsf{ T. Secantes:\\
{ 2(8)=(1+x)(1+x+ED)(I) \\
T.Tangente:\\
2^2 = 1.(1+x+ED)\implies 4 = (1+x+ED)(II)\\
(I) e (II)16 = 4(1+x)\therefore \boxed{\color{\red}{x=3}}}}[/tex3]
(Solução: jvmago -...

[tex3]\mathsf{\triangle ABD \sim \triangle APO \implies \frac{2R}{R} =\frac{BD}{PO} \therefore k = 2\\ \therefore BD = 2 \cdot OP = 2.2,5 = 5\\ DG \perp FB (G \in FB)\\ \angle GBD = 60^o \implies GD = \frac{5\sqrt3}{2}~e~BG = \frac{5}{2}\\ (Por ~propriedade*)BH=2OE \therefore BH = 3\\ GH = BH-BG=3-2,5 \implies GH=\frac{1}{2} \\ T.Pit: \triangle DHG:HD^2 = GH^2+GD^2 \implies\\ HD^2 = \frac{75}{4} +(\frac{1}{2})^2 \therefore \boxed{\color{red}HD = \sqrt19}}[/tex3]...

Seja: B o ponto onde as circunferências se tocam
D ponto que o segmento PB corta a circunferência
Traçar BL

[tex3]\mathsf{\triangle PBQ \sim \triangle PBL :\frac{a}{PB}=\frac{PD}{a+b} \implies\\ PD*PB=a(a+b) \\ PT^2 = PD.PB=a(a+b) \therefore \boxed{\color{red}PT = \sqrt{(a(a+b)}}}[/tex3]...

[tex3]AE \cdot AF = AC^2 \iff \frac{AF^2}4 = 4 \iff AF =4 [/tex3]

ΔAEB é equilátero, pois tem todos os lados iguais a 1.

Lei dos cossenos em ΔABF

[tex3]\mathsf{BF^2 = AF^2 + AB^2 - 2 AF \cdot AB \cdot \cos (60)\\ BF^2 = 16 + 1 - 4= \sqrt {13}\\ BD \cdot BF = BC^2 \iff \boxed{\color{red}BD = \frac{1}{\sqrt{13}}}}[/tex3]...

Problema com "vício", não foi determinado P.

Trace AT, veja que ∠ATM é um ângulo inscrito na circunferência olhando para o diâmetro, então △ATM é retângulo em T.
Por Pitágoras encontramos AT=12 [tex3]\sqrt{2}[/tex3] .
Veja que ∠AMT é um ângulo inscrito na circunferência olhando para o arco AT....

AB = BC
[tex3]AB = BC\\
\mathsf{\triangle CQB \sim \triangle BCD}(A.A.)\\
\frac{BC}{BD}=\frac{BQ}{BC}\implies BC^2=BD.BQ=a(a+b)\\
\therefore \boxed{\color{red}BC =AB = \sqrt{a(a+b)}} \\
[/tex3]
(Solução: geobson)

Assumindo que as circunferências são tangentes em C, mas a reta PC não é tangente a nenhuma das duas.
Seja X o encontro de PC com o círculo maior
Seja Y o encontro de PC com o círculo menor

Da homotetia entre os círculos CX=2CY
da potência de P com...

Já que o centro do círculo de diâmetro PQ está no eixo radical dos círculos: de diâmetro AB e do círculo de centro P e raio PQ .
Então o ponto N é ponto médio de PQ .

Prova: a potência do centro do círculo de diâmetro PQ em relação ao círculo...