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Para um polígono regular cujo número de lados é
um potência de 2 temos :
[tex3]\mathsf{ l_{2^k}=R\underbrace{\sqrt{2-\sqrt{2}+\sqrt2+\sqrt2+...}}_{=k-1~radicais}\\ \therefore 32 = 2^5 \implies \boxed{\color{red}l_{32} = \sqrt{2-\sqrt2+\sqrt2+\sqrt2}} }[/tex3]...

Por propriedade:
[tex3]\mathsf{6\theta = 120-2\theta\implies \theta=15^o\\ \therefore BD=l_{12}\\(a_c=\frac{360^o}{n}\rightarrow 30^o =\frac{360}{n}\therefore n =12)\\ \triangle BCD(isósceles)\implies BD = R.\sqrt{2-\sqrt3}\implies\\ BD = \sqrt{2+\sqrt3}\cdot\sqrt{2-\sqrt3} \\ \therefore \boxed{\color{red}BD = \sqrt1 = 1} }[/tex3]...

Olá, petras.

* Problema com dados inconsistentes
Sendo a = lado do pentágono
PC = x
[tex3]T,Ptolomeu - PCDE: \displaystyle 11 a + a \cdot x = 12 \cdot \frac{ (1 + \sqrt 5) a}{2} = (6 + 6 \sqrt 5) a\\
~x+11=6+6\sqrt5 \therefore x = 6 \sqrt 5 - 5 \ne 9[/tex3]

De...

[tex3]\mathsf{AM =l_6=R = 2\sqrt7\\ \triangle AMC: AC^2+AM^2 = (2R)^2\\ AC^2 +28 = 112 \therefore AC = \sqrt{84}\\ \triangle AMN: MN^2 = AM^2+(\frac{AC}{2})^2=28+21 = 49 \therefore MN = 7\\ T.Cordas(LAMC): MN.LN = \frac{AC}{2}.\frac{AC}{2}\implies 7LN = (\frac{AC}{2})^2\rightarrow7LN = 21\\ \therefore \boxed{\color{red}LN = 3 } }[/tex3]...

Sabemos que a medida do ângulo interno do eneágono regular é igual a Ai=180∘(9−2)9=140∘∘.
Considere agora o pentágono ABCDE, como indicado na figura abaixo. A soma de seus ângulos internos é 540∘.
Como ∠ABC=∠BCD=∠CDE=140∘ e, pela simetria da figura,...

[tex3]\mathsf{PC=4\\ BC=PC (∠BPC=∠PBC). \\ Analogamente: AE=PE=PC. \therefore PCDE(losango): PD⊥CE\\ M = PD \cap CE \\ T.Pit~ △PEM: PD=2PM=2\sqrt{PE^2−\frac{CE^2}{4}}(I)\\ d = l_5.\frac{2}{\sqrt5 - 1}(fórmula~diagonal) \implies CE=\frac{1+\sqrt5}{2}⋅PC=2(1+\sqrt5)(I)\\ ∴(II) em(I):PD=2\sqrt{16−(6+2\sqrt5)}=\boxed{\color{red}2\sqrt{10-2\sqrt5}}}[/tex3]...

[tex3]\mathsf{\triangle OCE: CE^2 = 2R^2 \therefore CE = R\sqrt2\\ \triangle APE(retângulo): (4\sqrt2)^2+PA^2 = (2R)^2 \implies\\ \boxed{PA = \sqrt{4R^2 -32}=2\sqrt{R^2-8} }\\ PCEA: PC.AE+CE.PA = PE.CA \implies\\ 2R+R\sqrt2.PA = 4\sqrt2.R\sqrt2\\ 2+\sqrt2PA =8\\ \boxed{PA = 3\sqrt2}\\ Igualando~ PA: \sqrt{4R^2-32} = 3\sqrt2\implies4R^2-32 =18 \rightarrow\\ R^2 = \frac{25}{2} \implies \boxed{\color{red}R = \frac{5\sqrt2}{2}}}[/tex3]...

[tex3]\mathsf{ T.Ptolomeu:DAGF: DF.x+AD.x = AF.DG\implies AC.x+AD.x=AC.AD\\ x(AC+AD) = AC.AD = \frac{AC.AD}{AC+AD} \therefore x = \frac{AC.AD}{AC+AD }\implies \\ \frac{1}{x} = \frac{AC+AD}{AC.AD}=\frac{1}{AC} +\frac{1}{AD} = \frac{1}{9} \therefore x = 9 \implies\boxed{\color{red} 9.7 = 63} }[/tex3]...

[tex3]\mathsf{l_{12} =R\sqrt{2-\sqrt3}=\sqrt{6-3\sqrt3}=\sqrt{3(2-\sqrt3}=\sqrt3\sqrt{2-\sqrt3}\\
\implies R = \sqrt3\\
AE = l_3 = R\sqrt3 \therefore \boxed{\color{red}AE = \sqrt3 . \sqrt3 = 3}} [/tex3]
(Solução: Encontrada por geobson)

[tex3]\mathsf{ABCD ~é~inscritível \implies \angle BCA = 17^o \therefore \angle DOB =72^o\\\triangle DOB( elemental) \implies BD = \frac{R}{2}(\sqrt{10-2\sqrt5}) \\\therefore \sqrt{10+2\sqrt5} = \frac{R}{2}(\sqrt{10-2\sqrt5}) \implies 10+2\sqrt5 = \frac{R^2}{4}(10-2\sqrt5)\\ \frac{R^2}{4} =\frac{10+2\sqrt5}{10-2\sqrt5 }=\frac{120+40\sqrt5}{80}\implies R =\sqrt{ 6+2\sqrt5}\\ \therefore R={\sqrt\frac{6+4}{2}}+\sqrt{\frac{6-4}{2}}=\boxed{\color{red}\sqrt5+1}}[/tex3]...

Em um pentágono regular ABCDE,
[tex3]l_5= d\frac{\sqrt5-1}{2} , l_5=1 \implies d = \frac{1+\sqrt5}{2}\\
△ABD: AD=BD=\frac{1+\sqrt5}{2} : ∠ADB=36^o\\

[/tex3]
Agora na figura:
\mathsf{Prolongar~ AD ~e~ traçar~ BE=AB. \\ \therefore...

Seja [tex3]O[/tex3] o centro do semicírculo e sejam [tex3]X[/tex3] e [tex3]Y[/tex3] os pontos de contato do semicírculo com [tex3]AB[/tex3] e [tex3]BC[/tex3] respectivamente.

O enunciado nos diz que o [tex3]\triangle ABC[/tex3] é [tex3]B-[/tex3]...

[tex3]\mathsf{AB = \frac{R}{2}\sqrt{10-2\sqrt5} = l_5\\\therefore \angle OBA = 54^o\\ \frac{R}{2}\sqrt{6-2\sqrt5} = \frac{R}{2}\sqrt{\frac{6+4}{2}}-\sqrt{\frac{6-4}{2}}=\\ \frac{R}{2}( \sqrt5-1)\implies l_{10}\\ \therefore \angle OBC = 126^o\\ \angle CBE = 180^o-126^o=54^o\\ \angle ECB = \frac{COB}{2} = \frac{36^o}{2}=18^o\\ \therefore \angle BEC = 180^o - 72^o = \boxed{\color{red}108^o }} [/tex3]...

Seja C o vértice em comum aos dois hexágonos, I o vértice no hexágono menor contido na reta MP, X encontro dos circuncírculos dos hexágonos (esse encontro existe pois C é um dos encontros, só há um encontro quando os centros dos hexágonos forem...

[tex3]\mathsf{\triangle BID: PI = l_{10} \implies \angle BID = 36^o\\
\triangle AFN(elemental): \boxed{\color{red}AN = \frac{3}{2}\sqrt{10+2\sqrt5}}}[/tex3]
(Solução:Encontrada por geobson)

[tex3]\mathsf{HE = 2a+a\sqrt2=3+3\sqrt2\implies 2a-3=3\sqrt2-a\sqrt2 (elevando~ ao ~quadrado)\\
\therefore a\sqrt2=3}\\
\triangle PLE: Triângulo~elemental:
x = a\sqrt2 \therefore \boxed{\color{red}x = 3}[/tex3]
(Solução: Encontrada por geobson)

[tex3]\mathsf{l_6=R\\R=2\sqrt3k\implies k = R\frac{\sqrt3}{6}\\x=12k=12.R\frac{\sqrt3}{6} \\
\therefore \boxed{\color{red}x =2\sqrt3R }}[/tex3]
(Solução:encontrada por geobson)

[tex3]\mathsf{\triangle ECD:elemental:\implies \frac{a}{2}(\sqrt5+1) = 4\therefore a = 2(\sqrt5-1)\\ \triangle AQB: elemental: \frac{x}{2} = \sqrt5+1 = a\therefore x = (\frac{\sqrt5-1}{2})a \\ \therefore x=(\frac{\sqrt5-1}{2})2(\sqrt5-1)\implies \boxed{\color{red}x=6-2\sqrt5}}[/tex3]...

[tex3]\mathsf{\triangle PBQ(elemental)\implies PQ = BP\sqrt{2-\sqrt2}\\ BP = l_8\sqrt2=R(\sqrt{2-\sqrt2})\sqrt2=(\sqrt2+1).(\sqrt{2-\sqrt2}).\sqrt2\\ PQ = (\sqrt2+1).(\sqrt{2-\sqrt2}).\sqrt2.(\sqrt{2-\sqrt2})=(2-\sqrt2)(2+\sqrt2)\\ \therefore \boxed{\color{red}PQ= 2} }[/tex3]...

[tex3]\mathsf{\triangle PON:elemental \implies 2x = 2-x(\sqrt{2-\sqrt2})\\
\therefore \boxed{\color{red}x= \frac{2\sqrt{2-\sqrt2}}{2+\sqrt{2-\sqrt2}}} }[/tex3]
(Solução:encontrada por geobson)

A,O e O1 são collineares
Como A,O e T são collineares, A,O,T e O₁ devem ser collineares.
[tex3]\mathsf{< O_1AL=60^∘\\ O_ 1A=O_1L=R \implies △O_1AL (equilátero).\\ LT=\frac{R\sqrt3}{2}⟹TE=\frac{R}{2\sqrt3}\\ OT=\frac{R}{2}−r\\ OT^2+TE^2=OE^2⟹(\frac{R}{2}−r)^2+(\frac{R}{2\sqrt3})^2=r^2\implies R=3r\\ TE^2=\frac{R^2}{12}=10(R−r)=\frac{20R}{3}\\ ∴R=80}[/tex3]...

[tex3]\mathsf{ABCU ~é~ cíclico\therefore \angle AUC =72^o\implies \angle AIC = 144^o\\ \triangle COA(elemental) AC = \frac{R}{2}(\sqrt{10+2\sqrt5})(I)\\ \triangle CUA(elemental):AC = \frac{r}{2}(\sqrt{10-2\sqrt5})(II)\\ (I)=(II) \implies \boxed{\color{red} r = \frac{\sqrt5+1}{2}R}}[/tex3]...