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Problema Proposto 2 - Pelo incentro "I'' de un triângulo retângulo ABC (m[tex3]\angle[/tex3]B 90o) se traçam IM [tex3]\perp[/tex3] AI (M em AC), MN [tex3]\perp [/tex3]BC(N em BC ). Calcular a área da região triangular INC; se AB = 3m e BC=4m.
Problema Proposto 3 - Os catetos de um triângulo retângulo medem 7 e 24 m. Calcular a área do triângulo cujos vértices são o ortocentro, o circuncentro e o incentro do triângulo retângulo.
Problema Proposto 5 - No quadrado ABCD, a diagonal AC intercepta em "E" e "F" à circunferência inscrita Cacular a área da região triangular EFD; se o lado do quadrado mede 2m.
Problema Proposto 6 - Os lados de um triângulo acutángulo medem 3[tex3]\sqrt{2}[/tex3], [tex3]\sqrt{26}[/tex3] e 2[tex3]\sqrt{5}[/tex3]. Calcular a área do triângulo.
Solução:
Fórmula de Heron para calculo de área de triângulos "formato compacto" (sendo [tex3]c[/tex3] o maior lado): [tex3]A=\frac14\cdot\sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}[/tex3].
Problema Proposto 8 - Os lados de un triângulo ABC medem AB = 21 m, AC= 28m e BC= 35m se traçam as bissetrizes AQ e CR, as quais se interceptam en "I". Calcular a área do triângulo CIQ.
Solução: O [tex3]\Delta ABC[/tex3] é o triângulo retângulo notável [tex3]3k,4k,5k[/tex3] com [tex3]k=7[/tex3], daí sua área é: [tex3]A=\frac{21\cdot28}{2} \ \ \therefore \ \ [ABC]=294 \ m^2[/tex3]
Problema Proposto 10 - Os lados de um triângulo ABC medem AB = 13m, BC= 14m, AC= 15m . Calcular a área da região triangular AIC sendo ''I" o incentro do triângulo ABC
Problema Proposto 13 - Calcular a área de um triângulo se o inraio mede 2m e os segmentos determinados pela circunferência inscrita sobre um lado medem 3 e 5m.
Problema Proposto 15 - Calcular a área de um trapézio isósceles, se sua altura mede 9m e seu lado não paralelo se observa do centro da circunferência circunscrita, sob um ângulo de 74º.
Problema Proposto 16 - Sobre os lados AB e BC de um triángulo ABC, exteriormente se constroem os quadrados ABFL e BCQR; o segmento que une os centros dos quadrados mede 8m. Calcular a área do quadrilátero AFRC.
Problema Proposto 17 - Na figura "G" é o baricentro do triângulo ABC; se a área do triângulo FGC é 9 m2, a área do triángulo FGB é 16m2 Calcular a área da região sombreada.
Solução: [tex3]\blacktriangleright [/tex3] De [tex3]O[/tex3] ser centro da circunferência e [tex3]OF\perp AB\implies \angle ABF=\angle AEF=45^{\circ}[/tex3].
[tex3]\blacktriangleright [/tex3] De [tex3]\angle AEB=90^{\circ}[/tex3], temos que...
Solução:
Considerando [tex3]EF[/tex3] tangente a semicircunferência em [tex3]T[/tex3], [tex3]\angle AOE=\theta[/tex3] e [tex3]\angle BOF=\alpha[/tex3] e [tex3]R[/tex3] o raio da semicircunferência.
Problema Proposto 22 - Desde o ponto A exterior a uma circunferência se traçam as tangentes AD e AC, em AD se marca o ponto "N" tal que NC intercepta a circunferência em "F"; se AN = ND, NF = 1m , NC = 4m. Calcular a área da região triangular ANC....
Trace a altura [tex3]CH \perp BF, H \in BF[/tex3].
Por ângulo de segmento, [tex3]\angle BAF = \angle FBC = \angle HBC[/tex3], logo [tex3]\triangle ABF \cong \triangle BCH[/tex3], pois possuem os mesmos ângulos e mesma hipotenusa. Logo, [tex3]CH = BF[/tex3]...
Problema Proposto 27 - No triângulo isósceles ABC, a base AC mede 7m; sobre BC se constroi exteriormente o triângulo equilátero BCF. Si AF = 16m Calcular a área da região triangular AFC.
Problema Proposto 28 - Na figura A é ponto de tangência: LE=2(TE) [tex3]m\overset{\LARGE{\frown}}{AN}[/tex3]=60o [tex3]\frac{(TE)^2}{R-r}[/tex3] = 10 m Calcular o valor de R.
A, O e O1 são colineares e A,O e T são colineares, portanto A,O,T and O1 são colineares. [tex3]∠O1AL=60^∘ e ~ O1A=O1L=R \implies △O1AL (equilátero)\\
LT=\frac{R\sqrt3}{2}⟹TE=\frac{R}{2\sqrt3}\\
OT=\frac{R}{2}−r\\
OT^2+TE^2=OE^2⟹(\frac{R}{2}−r)^2+(\frac{R}{2\sqrt3})^2=r^2 \implies\\
R=3r\\
TE^=\frac{R^2}{12}=10(R−r)=\frac{20R}{3}.\\
∴\boxed{\color{red}R=80}[/tex3]...
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