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[tex3]\mathsf{S\triangle ADC = \frac{10.PH}{2} = 5PH = 5(3+FH)\\ S\triangle AEC = \frac{10.FH}{2}=5FH\\ S\triangle AOC = S\triangle AEC - S\triangle AEO=5FH -S \triangle AEO \\S\triangle AEO = S\triangle AEC - S\triangle AOC\\ S\triangle DOC = S\triangle ADC - S\triangle AOC = 15+5FH-S\triangle AOC=15+5FH-5FH+S\triangle AEO\\ S\triangle DOC = 15+S\triangle AEO\\ \therefore \boxed{\color{red}S\triangle DOC - S\triangle AEO = 15m^2} }[/tex3]...

[tex3]\mathsf{△AHB∼△ABC. \therefore\frac{ AH}{BH}=\frac{7}{8}\\ △AMH∼△BNH, \frac{AM}{BN}=\frac{AH}{BH}=\frac{7}{8}\\ LO = \frac{8}{2}=4(base~média)\\ S_{△OAM}=\frac{1}{2}⋅OL⋅AM=2AM=\frac{7}{4}⋅BN\\ OD = \frac{AB}{2}=\frac{7}{2}(base~média)\\\ S_{△OBN}=\frac{1}{2}⋅BN⋅OD=\frac{7}{4}BN\\ \therefore, S_{△OBN}=S_{△OAM}\\ S_{OMBN}=S_{△OBM}+S_{△OBN}=S_{△OAB}=\frac{1}{2}⋅4⋅7=\boxed{\color{red}14}}[/tex3]...

T é o ponto da circunferência tal que a reta tangente por T é paralela a AD

portanto sendo O o centro do círculo (e ponto médio de AB) temos OT perpendicular a AD.

Logo OT é uma reta perpendicular à AD passando pelo centro do círculo que contém os...

[tex3]\mathsf{TK = \sqrt2R\\ T.Cordas:AT⋅TB=MT⋅TN\\ BK⋅KC=KN⋅MK\\ \therefore: AT=\sqrt2a+\frac{ab}{R}\\ KC=\sqrt2b+\frac{ab}{R}\\ S_{ABC}AB^2+BC^2=AC^2\\ BC=BC+KC=KC+R\\ AB=AT+TB=AT+R\\ AC=AG+GC=AT+KC\\ Resolvendo: R=\sqrt{ab}\\ \therefore S_{ABC}=\frac{AB⋅BC}{2}=\frac{1}{2}(\sqrt2a+2\sqrt{ab})(\sqrt2b+2\sqrt{ab})\\ \therefore \boxed{\color{red}{S_{ABC} = 2\sqrt{ab}(a+b)+3ab}}}[/tex3]...

[tex3]\mathsf{O:centro~ do~ círculo\\ BPQO(retângulo) 3 ~ângulos ~retos\\ BPQO(quadrado) BO ~é~ bissetriz ~do~ \angle B\\ BP = BQ = x \implies BO = x\sqrt2\\ Fórmula, Comprimento ~Bissetriz ~Int.: x \sqrt2 = \frac{ac \sqrt2}{a+c} \iff x = \frac{ac}{a+c} \iff x = \frac{(9+x)(12+x)}{21 + 2x} \iff x= 6\sqrt3\\ \triangle ABC:c =9+6\sqrt3\\a = 12 + 6\sqrt3\\ b=\sqrt7(6+3\sqrt3)\\ h = \frac{ac}{b} \\ base=2x\\ \therefore \boxed{\color{red}S_{BTK} =152,34}}[/tex3]...

*Se dois triângulos são semelhantes, então a relação entre suas áreas será igual a a relacão entre os cuadrados de seus elementos homólogos.
\mathsf{ S=625\\ \text{x = Área procurada} \\ \text{*Teorema das áreas de triângulos...

Como AC é diâmetro da circunferência, ABC é um triângulo retângulo, deste modo, tem-se que:
[tex3]\mathsf{AB^2+BC^2=(2R)^2\\ 576+BC^2=1600\\ BC^2=1024→BC=32\\ Como △CKO≅△CBA: {CO \over KO}={CB\over AB}→{20 \over KO}={32 \over 24}→KO=15 \implies\\ TK=20-15=5\\ \therefore S_{\triangle TKL}={{TK×CO}\over 2}={{5×20}\over 2}=\boxed{\color{red}50}} [/tex3]...

[tex3]\mathsf{ \triangle QPH \sim \triangle ABC(propriedade)\\ \frac{AC}{6}=\frac{BC}{HP}(I)\\ \triangle HPC ~e ~\triangle BCH(pitagóricos) \implies\\ PC=3a\\ PH=4a\\ HC=5a\\ \therefore BC=\frac{25a}{3}\\ Em(I):AC=\frac{25}{2}\\ 2S=6*AC \implies \boxed{\color{red}S=\frac{75}{2} =37,5 m^2}}[/tex3]...

[tex3]\mathsf{AM = AF =a+1\\ BH=BL = CM = 1 = r\\ T.Menelau;\triangle AGD-FE:\\ \frac{x}{b+1}.\frac{b+7}{4}.\frac{2}{x} =1 \implies b = 5\\ T,Poncelet: b+2r = a+c\implies a+c =7 \\ S_{\triangle ABC} = p.r = \frac{a+b+c}{2}.r = 6\\ S_{\triangle ABC} = 6 = \frac{b,h}{2} \implies h =\frac{12}{5} \\ S_{BDC} = \frac{CD.h}{2} = \frac{3.12}{2.5}=\boxed{\color{red}3,6} }[/tex3]...

[tex3]\mathsf{ \angle MBA = 90°-x, então \angle TAK = \angle KBC = x\\ AT = AK, BK = BC\\ BK = BM, \implies \triangle BMC ~é~ isócesles, \angle BMC = 45^o\\ ET = EM, \angle TME = 45^o\\ \therefore \angle TMD = 90^o, \implies T,O ~e~ D ~são~ colineares\\ \therefore EM = r, ~altura~ de~ EDM=r\\ \therefore \boxed{\color{red}[EDM] = \frac{r^2}{2}} }[/tex3]...

Seja r o raio do círculo menor e R o raio do círculo maior.
\mathsf{PT=RT=2rPT=RT=2r, \\ RS=PS=r\sqrt2\\ O_1O_2=r+R, O2Q=R\\ T.Pit. △O_1O_2Q: O_1Q=\sqrt{r^2+2rR}\therefore RQ=\sqrt{r^2+2rR}+r\\ por ~tangência, RP=RQ, \therefore...

gire a figura de 90 graus sentido anti horário em torno do ponto B.
Seja P' o resultado desta rotação aplicada ao ponto P

triângulo APQ é congruente ao triângulo BQP'
já que BP = BP', BQ é comum aos dois triângulos e os ângulos entre BP e BQ e...

[tex3]\mathsf{ BG=CE=a \therefore CG=5−a\\ \triangle CGE \sim \triangle ADE:\\ (5−a)(5+a)=5a \implies a=\frac{5(\sqrt5−1)}{2}\\ \text{Trace a altura BH do triângulo isosceles BCF}\\ BH^2=h^2=25−\frac{a^2}{4}\\ h=\frac{a\sqrt{100−a^2}}{4}\\ \therefore \boxed{\color{red}x=\frac{a\sqrt{100−a^2}}{4}\approx 7,35}\\ }[/tex3]...

[tex3]\mathsf{\text{Potência de A em relação a circunferência menor}\\ AB ^2 = AD \cdot AC\\ \therefore 225 = 3 \sqrt{5} \cdot AC\\ AC = 15 \sqrt{5}\\ usando ~a ~mesma~ fórmula~ acima:\\ \frac{15 \cdot 15 \cdot \sqrt{5} \cdot \frac23}{2} =\boxed{\color{red} 75\sqrt{5}}}[/tex3]...

Baixando o raio EH da circunferência ex-inscrita.
AH é o semiperímetro de ABC.
Semelhança entre AEH e AIK:
[tex3]\frac{AH}{AK} = \frac{EH}{IK}\\ \frac{p}{AK} = \frac{r_{a}}{r}\\ AK = \frac{pr}{r_a}\\ \frac{AK\cdot r_a}{2} = \frac{pr}{2} = A_4+x+A_2[/tex3]...

As diuas circunferÊncias serão coincidentes
[tex3]BF = AB\\\boxed{\color{red}S = \frac{4.4}{2} = 8}[/tex3]
(Soução: JohnW.Bayles)

incírculo toca os lados de um triângulo em s − a, s − b, s − c nos vértices correspondentes A, B, C.
O círculo B toca AC em (s − c) de A e (s − a) de C.
Então, se D fosse o ponto de tangência do círculo B, então CD = AF e CF = AD
O círculo B é...

[tex3]\mathsf{S_{MFO} = M\\S_{MFB} = N\\A1=M+N\\ S_{ABO}=S_{NOB}(AB=BN, OH = OP)\\ S_{MAO}=S_{CMO}(MO=mediana), \\ S_{ABO}=S=A1+ \frac{S_{ABC}}{2} +S_{MAO}(I)\\S_{NOB}=S = A2+\frac{S_{ABC}}{2}- N +S_{MCO} -M\\\therefore S=A2-A1+\frac{{ABC}}{2} +S_{MCO}(II)\\(II)-(I) \implies A1=A2-A1\therefore \boxed{A2=2A1} }[/tex3]...

Altura do equilátero △ ABC = H. Pode ser mostrado facilmente [tex3]H^2 = \sqrt3S.[/tex3]

As três perpendiculares podem ser considerados como h2 − r, h2, h2 + r.
Por propriedade a soma das 3 perependiculares será H e assim [tex3]h2 = \frac{H }{ 3}[/tex3]...

Pela figura temos que P e Q são os incentros dos triângulos BAD e BDC, respectivamente.
Como I é o ponto de intersecção das retas AP e CQ, I é o incentro do triângulo ABC .

Temos que r é o raio da circunferência de centro P e o triângulp PEM é...