Pré-Vestibular ⇒ (UNIFESP) Geometria Analítica Tópico resolvido

[deboranuns]

Duas circunferências são tangentes aos eixos coordenados: o centro da circunferência menor pertence à circunferência maior. Se o raio da maior é 2 cm, a medida, em centímetros, do raio da menor é:

A) [tex3]\frac{\sqrt2}{2}[/tex3]
B) [tex3]{\sqrt2}-{2}[/tex3]
C) [tex3]{\sqrt2}-{1}[/tex3]
D) [tex3]\frac{3}{5}[/tex3]
E) [tex3]\frac{2}{3}[/tex3]

Resposta

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Alternativa B

[jrneliodias]

Olá, Débora.

Construindo a figura:

dc.png (20.92 KiB) Exibido 2065 vezes

Notamos que [tex3]\triangle DJF\sim\triangle BFH[/tex3], então:

[tex3]\frac{DJ}{DF}=\frac{FH}{BF}[/tex3]

[tex3]\frac{2-r}{2}=\frac{r}{BF}[/tex3]

[tex3]BF=\frac{2r}{2-r}[/tex3]

Como o triângulo [tex3]\triangle BFH[/tex3] é retângulo, podemos usar Pitágoras,

[tex3]\left(\frac{2r}{2-r}\right)^2=2r^2[/tex3]

Como [tex3]r\neq0[/tex3],

[tex3](2-r)^2=2[/tex3]

[tex3]|2-r|=\sqrt{2}[/tex3]

Além disso, [tex3]2-r>0[/tex3], pois o raio deve ser menor que da outra circunferência, ou seja, [tex3]r<2[/tex3]. Então,

[tex3]2-r=\sqrt{2}[/tex3]

[tex3]r=2-\sqrt2[/tex3]

Porém, não é a letra B, pois [tex3]\sqrt2-2<0[/tex3], não podendo ser o valor de um raio.

Espero ter ajudado, abraço.

[poti]

Boa solução, meu desenho estava errado.