Pré-Vestibular ⇒ (UFMG - 2008) Geometria Analítica: Reta e Circunferência Tópico resolvido

[Doug]

Considere o sistema

• [tex3]\begin{cases}x^2+(y-1)^2=a^2\\y=|x| \end{cases}[/tex3]

em que [tex3]a[/tex3] é um número real positivo.
Determine o número de soluções distintas desse sistema em função de [tex3]a.[/tex3]

Alguém tem o gabarito da segunda fase da UFMG 2008?
Obrigado.

[petrasMOD]

Questão Antiga

[tex3]x^2+(y-1)^2 = a^2\rightarrow \text{ Circunferência de } C(0,1)\text{ e raio }=a[/tex3]

[tex3]y = |x| \rightarrow \text{ Retas } x \text{ se }x\geq0\text{ e }-x\text{ se }x<0[/tex3]

Encontrando a distância [tex3]d[/tex3] de [tex3]C[/tex3] à reta [tex3]y=x[/tex3] que será a mesma de [tex3]C[/tex3] à [tex3]y=-x[/tex3]:

[tex3]d = \frac{|ax+by+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}[/tex3]

[tex3]a= 1[/tex3], [tex3]b = -1[/tex3], [tex3]c = 0[/tex3], [tex3]x= 0[/tex3] e [tex3]y=1[/tex3]

[tex3]d =\frac{|0\cdot 1+1\cdot (-1)}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]

Analisando o gráfico teremos para:

[tex3]a < \frac{\sqrt{2}}{2}\rightarrow [/tex3] nenhuma solução
[tex3]a = \frac{\sqrt{2}}{2}\rightarrow [/tex3] 2 soluções
[tex3]\frac{\sqrt{2}}{2} < a < 1 \rightarrow [/tex3] 4 soluções
[tex3]a = 1\rightarrow [/tex3] 3 soluções
[tex3]a > 1\rightarrow [/tex3] 2 soluções

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