Pré-Vestibular ⇒ (UFRN) Geometria Analítica: Reta e Circunferência Tópico resolvido

[Natan]

Determine a equação da reta tangente à circunferência de equação [tex3]x^{2}+y^{2}=25[/tex3] no ponto de abscissa [tex3]4[/tex3] e ordenada positiva.

[cajuADMIN]

Olá Natan,

Para calcularmos a ordenada do ponto de abscissa [tex3]4 (x=4)[/tex3] devemos apenas substituir o valor [tex3]x=4[/tex3] na equação da circunferência.

• [tex3]4^2+y^2=25\Longrightarrow y=3[/tex3]

Ou seja, o ponto de intersecção e [tex3](4,3)[/tex3].

Uma reta tem equação [tex3]y=ax+b[/tex3].

O ponto de intersecção irá passar por essa reta também, ou seja, podemos substituir o ponto [tex3](4,3)[/tex3] nessa equação:

• [tex3]3=a\cdot 4+b[/tex3]

(I) [tex3]\boxed{b=3-4a}[/tex3]

Guardamos e continuamos.

Para achar a interseção da reta com a circunferência, devemos resolver o sistema formado pela equação da reta e da circunferência:

• [tex3]\{x^2+y^2=25\\y=ax+b[/tex3]

Substituindo a segunda equação a primeira:

• [tex3]x^2+(ax+b)^2=25[/tex3]

Desenvolvendo e arrumando:

• [tex3](1+a^2)x^2+2abx+b^2-25=0[/tex3]

Como só existe um ponto de intersecção (o enunciado diz que a reta é tangente), esta equação só pode ter uma solução. Ou seja, o discriminante deve ser zero:

• [tex3](2ab)^2-4(1+a^2)(b^2-25)=0[/tex3]
  
  [tex3]4a^2b^2-4b^2+100-4a^2b^2+100a^2=0[/tex3]

(II) [tex3]\boxed{{-}4b^2+100+100a^2=0}[/tex3]

Agora substituímos a equação (I) na (II)

• [tex3]{-}4(3-4a)^2+100+100a^2=0[/tex3]
  
  [tex3]36a^2+96a+64=0[/tex3]

Simplificando

• [tex3]9a^2+24a+16=0[/tex3]

Resolvendo:

• [tex3]a=-\frac 43[/tex3]

Substituindo esse valor em (I)

• [tex3]b=3-4\(-\frac 43\)=\frac{25}{3}[/tex3]

Ou seja, a equação da reta tangente pedida é:

• [tex3]\boxed{y=-\frac 43 x+\frac{25}{3}\large}[/tex3]

[Natan]

Brilhante resolução professor!, muito obrigado. Só uma coisa: se na última equação do segundo grau o discriminante não fosse nulo, teríamos duas retas como solução?

[cajuADMIN]

Olá Natan,

Daí teríamos infinitas retas como resposta [tex3](\triangle > 0),[/tex3] ou nenhuma reta [tex3](\triangle < 0).[/tex3]

[fabit]

No caso, não dá pra ser nenhuma [tex3](\triangle <0),[/tex3] porque o próprio ponto [tex3](4;3)[/tex3] já é uma interseção garantida.