Pré-Vestibular ⇒ (UFAM 2014) Função Polinomial Tópico resolvido

[Albe]

Sendo r um número real positivo, a lei da função polinomial [tex3]p : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} [/tex3] que melhor representa o gráfico a seguir é dada por:

20200512_191425.jpg (7.22 KiB) Exibido 1368 vezes

a) [tex3]p(x) = r^{2}x - x^{3}[/tex3]
b) [tex3]p(x) = x^{3}- r^{2}x[/tex3]
c) [tex3]p(x) = r^{2}x^{3} - x[/tex3]
d) [tex3]p(x) = x - r^{2}x^{3}[/tex3]

Resposta

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A

[mcarvalho]

Boa noite.

O teorema da decomposição de polinômios nos garante que o polinômio genérico [tex3]p(x)=a_nx^n+a^{n-1}x^{n-1}+...+a_0[/tex3] pode ser decomposto como [tex3]p(x)=a_n(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n)[/tex3], em que [tex3]x_1,x_2..x_n[/tex3] são as [tex3]n[/tex3] raízes de [tex3]p(x)=0[/tex3]

Pelo gráfico, conseguimos ver que [tex3]-r, 0 \text{ e} +r[/tex3] são raízes.

Então: [tex3]p(x)=k(x+r)(x)(x-r)=kx(x^2-r^2)=kx^3-kxr^2[/tex3]

Para [tex3]k=-1\rightarrow \boxed{p(x)=-x^3+xr^2}[/tex3]

Perceba que escolhemos [tex3]k<0[/tex3]. Na verdade, em um polinômio qualquer [tex3]p(x)=a_nx^n+a^{n-1}x^{n-1}+...+a_0[/tex3], quando [tex3]a_n>0[/tex3], o primeiro "ramo" da função será crescente para [tex3]n[/tex3] ímpar, e decrescente para [tex3]n[/tex3] par. E vice-versa para [tex3]a_n < 0[/tex3].

Desenhar o gráfico pode ajudar.

[Albe]

Valeu, Mcarvalho. Muito obrigado!