Pré-Vestibular ⇒ (ENEM 2020) Permutações de Elementos nem Todos Distintos Tópico resolvido

[MateusQqMDMOD]

Três amigos, André, Bernardo e Carlos, moram em um condomínio fechado de uma cidade. O quadriculado representa a localização das ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho nesse condomínio, em que nos pontos A, B e C estão localizadas as casas de André, Bernardo e Carlos, respectivamente.

ENEM 2020 Permutação de Elementos nem Todos Distintos.png (50.87 KiB) Exibido 1811 vezes

André deseja deslocar-se da sua casa até a casa de Bernardo, sem passar pela casa de Carlos, seguindo ao longo das ruas do condomínio, fazendo sempre deslocamentos para a direita [tex3](\rightarrow)[/tex3] ou para cima [tex3](\uparrow),[/tex3] segundo o esquema da figura.

O número de diferentes caminhos que André poderá utilizar para realizar o deslocamento nas condições propostas é

A) 4
B) 14
C) 17
D) 35
E) 48

[MateusQqMDMOD]

Para ir de A até B, deve-se andar 4 vezes para a direita e 3 vezes para cima. O número de ordens que isso pode ser feito é [tex3]P^{4\, 3}_{7} = \frac{7!}{4!3!}.[/tex3] Por exemplo, uma ordem possível é

[tex3]\text{D} \,\text{D} \, \text{D} \, \text{D} \, \text{C} \, \text{C} \, \text{C} \,[/tex3]

Ou seja, lê-se que André andou, em um primeiro momento, 4 vezes para direta (4 D's) e, em seguida, 3 vezes para cima (3 C's).

Para ir de A até C, deve-se andar 2 vezes para direita e 2 vezes para cima. Isso pode ser feito de [tex3]P^{2, \,2}_4 = \frac{4!}{2!2!}[/tex3] modos. Agora, para ir de C até B, deve-se andar 2 vezes para direita e 1 vez para cima. Isso pode ser feito de [tex3]P^{2}_3 = \frac{3!}{2!}[/tex3] modos.

Portanto, André pode ir de A até B, sem passar por C, de [tex3]\frac{7!}{4!3!} - \frac{4!}{2!2!} \times \frac{3!}{2!} = 17[/tex3] modos.