Pré-Vestibular ⇒ cossec^2(x) = 2 cotg x Tópico resolvido

[Argean]

Bom dia a todos.
Esta equação tem duas soluções. Só encontrei a primeira. a segunda não faz sentido pra mim.

Iezzi, pág 358, ex 31

U = [0, 2[tex3]\pi [/tex3][

[tex3]cossec^{2}[/tex3](x) = 2 cotg (x)
[tex3]\frac{1}{sen^{2}x}[/tex3]=2 [tex3]\frac{cos x}{sen x}[/tex3]
[tex3]\frac{1}{sen x}[/tex3]= 2cos x
2sen x . cos x = 1
sen (2x) = 1

Para o intervalo proposto:

2x = [tex3]\frac{\pi }{2}[/tex3]
x= [tex3]\frac{\pi }{4}[/tex3]

Porém, o gabarito dá [tex3]\frac{5\pi }{4}[/tex3] como segunda solução.

De onde veio isso?

Se fizermos sen (2x) = 1, temos:
sen (2.[tex3]\frac{5\pi }{4}[/tex3]) = 1
sen ([tex3]\frac{5\pi }{2}[/tex3]) = 1

Mas, [tex3]\frac{5\pi }{2}[/tex3] está fora do intervalo.

Onde estou errando??

[FelipeOBala]

[tex3]\cossec^2(x)=2\cotg(x)\longrightarrow \cotg^2(x)+1=2\cotg(x)\newline \longrightarrow (\cotg(x)-1)^2=0 \newline \cotg(x)=1 \therefore x=\frac{\pi}{4} \space e\space x=\frac{5\pi}{4}[/tex3]

[Argean]

FelipeOBala, perfeito.

Me esqueci dessa opção (cossec^2(x)=cotg^2(x)+1).

O que me parece curioso é que, se escolher o caminho errado, a resposta fica incompleta. Para um problema matemático, isso não deveria ocorrer. Quero dizer... eu deveria poder chegar à mesma resposta usando o caminho de sen (2x).

Valeu!!

[Argean]

Revi esse exercício e parece que consigo usar o sen (2x). Basta atribuir valores para K que mantenham o resultado dentro do intervalo.
Vejam se faz sentido.

Sen (2x) = 1

2x=[tex3]\frac{\pi }{2}[/tex3] + k2[tex3]\pi [/tex3] (usando a definição)
x=[tex3]\frac{\pi }{4}[/tex3] + K[tex3]\pi [/tex3]

Atribuindo valores para K:
K=0 ---> x = [tex3]\frac{\pi }{4}[/tex3]
K=1 ---> x = [tex3]\frac{\pi }{4}[/tex3] + [tex3]\pi [/tex3] = [tex3]\frac{5\pi }{4}[/tex3]
K=2 ---> x = [tex3]\frac{5\pi }{4}[/tex3] + 2[tex3]\pi [/tex3] (veja que foge do intervalo).

Assim: S= [tex3]\frac{\pi }{4}[/tex3] , [tex3]\frac{5\pi }{4}[/tex3]