Pré-Vestibular ⇒ Equação trigonometrica Tópico resolvido

[Argean]

Boa tarde, fórum.

Alguém, por favor, poderia desenvolver? Minha resposta não bate com o gabarito.

(IEZZI, pág 361, ex 1, e)

3.[tex3]sen^{2}[/tex3]([tex3]\frac{x}{2}[/tex3]) + cos x = 1

Gabarito= K2[tex3]\pi [/tex3]

Estou encontrando k4[tex3]\pi [/tex3] como solução.

Valeu!!

[ProfLaplace]

Pela fórmula do arco duplo, sabemos que [tex3]\cos{2a}=1-2\sin^2{a}[/tex3]
Trocando [tex3]a[/tex3] por [tex3]\frac{x}{2}[/tex3] obtemos [tex3]\cos{x}=1-2\sin^2{\left(\frac{x}{2}\right)}[/tex3].
Isolando o seno ao quadrado, temos [tex3]\sin^2{\left(\frac{x}{2}\right)}=\frac{1-\cos{x}}{2}[/tex3].
Trocando isso na equação que ele deu, fica
[tex3]3\cdot\frac{1-\cos{x}}{2}+\cos{x}=1[/tex3].
Multiplicando a equação inteira por 2 obtemos
[tex3]3-3\cos{x}+2\cos{x}=2[/tex3]
Ou seja, [tex3]\cos{x}=1[/tex3].
Pelo círculo trigonométrico, temos então [tex3]x=2\pi k[/tex3], onde [tex3]k\in\mathbb{Z}[/tex3].

[Argean]

ProfLaplace, perfeito. Mas deixe eu mostrar o que eu fiz e, se for possivel, me aponte onde errei.

3[tex3]sen^{2}[/tex3]([tex3]\frac{x}{2}[/tex3])+ cos x = 1

Como 3[tex3]sen^{2}[/tex3]([tex3]\frac{x}{2}[/tex3]) = [tex3]sen^{2}[/tex3]([tex3]\frac{x}{2}[/tex3]) + 2[tex3]sen^{2}[/tex3]([tex3]\frac{x}{2}[/tex3]), temos:
[tex3]sen^{2}[/tex3]([tex3]\frac{x}{2}[/tex3]) + 2[tex3]sen^{2}[/tex3]([tex3]\frac{x}{2}[/tex3]) + cos x = 1
Isolando seno:
[tex3]sen^{2}[/tex3]([tex3]\frac{x}{2}[/tex3]) + cos x = 1 - 2[tex3]sen^{2}[/tex3]([tex3]\frac{x}{2}[/tex3])

De acordo com sua observação: 1 - 2[tex3]sen^{2}[/tex3]([tex3]\frac{x}{2}[/tex3]) = cos (2.x/2) = cos x
Então:
[tex3]sen^{2}[/tex3]([tex3]\frac{x}{2}[/tex3]) + cos x = cos x
Cancelando cossenos, temos:
[tex3]sen^{2}[/tex3]([tex3]\frac{x}{2}[/tex3]) = 0

Como [tex3]\sqrt{0}[/tex3]= 0, temos:

[tex3]\frac{x}{2}[/tex3] = 0 + k2[tex3]\pi [/tex3]
x= K4[tex3]\pi [/tex3]

ou

[tex3]\frac{x}{2}[/tex3] = [tex3]\pi [/tex3] + k2[tex3]\pi [/tex3]
x= 2[tex3]\pi [/tex3] + K4[tex3]\pi [/tex3]

Onde estou errando?

[ProfLaplace]

Fala cara, blza?
Sua resposta está certa, só que ela está escrita de um jeito estranho.
É possível escrever de forma mais compacta.
Vamos partir da parte em que [tex3]\sin{\frac{x}{2}}=0[/tex3].
Olhando o círculo trigonométrico, vc vê que o seno bate zero no [tex3]0[/tex3] e no [tex3]\pi[/tex3] (na primeira volta).
Ou seja, daí segue que [tex3]\frac{x}{2}=0+\pi k[/tex3].
Portanto [tex3]x=2\pi k[/tex3], com k inteiro.
Isso pq vc pode ir andando de [tex3]\pi[/tex3] em [tex3]\pi[/tex3] pra pegar cada valor de x.
Não precisa andar de [tex3]2\pi[/tex3] em [tex3]2\pi[/tex3].

Vc pode notar que se vc juntar suas duas respostas, vc vai pegar os mesmos pontos que a minha resposta [tex3]x=2\pi k[/tex3].
Ou seja, as respostas são as mesmas, só seu jeito de escrever que ficou um pouco fora do convencional.

[Argean]

ProfLaplace, muito bom. Valeu, mesmo.