Pré-Vestibular ⇒ Circunferência no plano cartesiano Tópico resolvido

[LucasBG]

No plano cartesiano abaixo, os pontos A e C representam a interseção de uma circunferência com raio √7 u.c. e centro na Origem e uma parábola dada pela equação y = x² – 1.

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Considerando B o ponto de menor ordenada da circunferência,a medida do ângulo ABC é aproximadamente igual a:
Note e Adote: tg (49°) = [tex3]\frac{2\sqrt{3}}{3}[/tex3]

OBS: Não tenho o gabarito

Resposta

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a)25⁰ b)39⁰ c)41⁰ d)45⁰ e)49⁰

[rcompany]

[tex3]

(x_a,y_a),(x_b,y_b),(x_c,y_c) \text{ as coordenadas de $A,B$ e $C$}\\
x_B,x_C\text{ são as soluções de }
\left\{
\begin{array}{lr}y=x^2-1\\
y^2=7-x^2\\
\end{array}\right.\quad(1)\\
(1)\Leftrightarrow
\left\{
\begin{array}{lr}
y^2=(x^2-1)^2=x^4-2x^2+1\\
y^2=7-x^2\\
\end{array}\right.\\
\Rightarrow x^4-x^2-6=0\\
\Rightarrow x^2=\dfrac{1+\sqrt{1+24}}{2}=3\text{ ou }x^2=\dfrac{1-\sqrt{1+24}}{2}=-2\space\text{impossível}\\
\Rightarrow x=\sqrt{3} \text{ ou }x=-\sqrt{3}\\
\text{e então }(x_a,y_a)=(\sqrt{3},2)\text{ e }(x_c,y_c)=(-\sqrt{3},2)\\
\text{No círculo, }y=\sqrt{7-x^2}\text{ ou }y=-\sqrt{7-x^2}\\
y´=\dfrac{-2x}{2\sqrt{7-x^2}}\text{ ou }y´=\dfrac{2x}{2\sqrt{7-x^2}}\\
\text{e então }y'=0\Rightarrow x=0\Rightarrow \left(y=\sqrt{7}\text{ ou }y=-\sqrt{7}\right)\\
B\text{ sendo o ponto de menor ordenada temos }(x_b,y_b)=(0,-\sqrt{7})\\
\text{Notemos }\theta=\widehat{ABC}\quad\text{(sem orientação)}\\
\tg(\dfrac{\theta}{2})=\dfrac{|x_a|}{|y_a|+|y_b|}=\dfrac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{7}}=\dfrac{\sqrt{7}-2}{\sqrt{3}}\\
\text{e então: }\theta=2\cdot\arctan \dfrac{\sqrt{7}-2}{\sqrt{3}} \approx 41^\circ


[/tex3]