Pré-Vestibular ⇒ Rufino Vol.0- Fatoração Tópico resolvido

[K1llua]

Dado que [tex3]a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3[/tex3], prove que para todo número natural n:
[tex3]a^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1}=(a+b+c)^{2n+1}[/tex3].



Por gentileza, alguém poderia me ajudar?


Obs: A questão não possui resolução.

[rcompany]

[tex3]
(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(a+c)(b+c)\\
\text{então }(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3\implies 3(a+b)(a+c)(b+c)=0\implies (a+b=0\text{ ou }a+c=0\text{ ou }b+c=0)\\
\text{Já que }a,b,c\in\mathbb{N}\text{ temos }a=b=0\text{ ou }a=c=0\text{ ou }b=c=0\\
\text{e em todos os casos temos }\forall n\in\mathbb{N},\,(a+b+c)^{2n+1}=a^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1}

[/tex3]

[K1llua]

[tex3]
(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(a+c)(b+c)\\
\text{então }(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3\implies 3(a+b)(a+c)(b+c)=0\implies (a+b=0\text{ ou }a+c=0\text{ ou }b+c=0)\\
\text{Já que }a,b,c\in\mathbb{N}\text{ temos }a=b=0\text{ ou }a=c=0\text{ ou }b=c=0\\
\text{e em todos os casos temos }\forall n\in\mathbb{N},\,(a+b+c)^{2n+1}=a^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1}

[/tex3]

Muito obrigada!