Pré-Vestibular ⇒ (Rufino Vol.0)- MMC e MDC de Polinômios Tópico resolvido

[K1llua]

Sejam m e n inteiros positivos. Demonstre que:
[tex3]mdc\left ( x^{m}+1, x^{n}+1 \right )= x^{mdc\left ( m,n \right )}+1[/tex3]

Alguém poderia me ajudar? Por favor.

[rcompany]

[tex3]


x=3\\
m=5,n=2\\
\mdc(5,2)=1\\
\mdc(1+3^5,1+3^2)=\mdc(244,10)=\mdc(2^2\cdot 61,2\cdot 5)=2\\
1+3^1=4\neq 2
[/tex3]

Acredito que o enunciado correto seja [tex3]\mdc(x^m-1,x^n-1)=x^{\mdc(m,n)}-1[/tex3]

[K1llua]

[tex3]


x=3\\
m=5,n=2\\
\mdc(5,2)=1\\
\mdc(1+3^5,1+3^2)=\mdc(244,10)=\mdc(2^2\cdot 61,2\cdot 5)=2\\
1+3^1=4\neq 2
[/tex3]

Acredito que o enunciado correto seja [tex3]\mdc(x^m-1,x^n-1)=x^{\mdc(m,n)}-1[/tex3]

O enunciado estava escrito dessa forma na questão em que eu vi. Mas então, como seria a demonstração para [tex3] \mdc(x^m-1,x^n-1)=x^{\mdc(m,n)}-1
[/tex3]?

Se você puder me ajudar, por favor.

[rcompany]

[tex3]
\text{Vamos supor que }m\geqslant n\text{ e }m=q_0n+r_0\quad q_0,r_0\in\mathbb{N}\text{ e }r_0<n\\
x^m-1=x^{nq_0+r_0}-1=(x^n-1)(x^{n(q_0-1)+r_0}+x^{n(q_0-2)+r_0}+...+x^{r_0})+x^{r_0}-1\\
\mdc(x^m-1,x^n-1)=\mdc((x^n-1)(x^{n(q_0-1)+r_0}+x^{n(q_0-2)+r_0}+...+x^{r_0})+x^{r_0}-1,x^n-1)=\mdc(x^{r_0}-1,x^n-1)\\
\text{já que }\forall\, B,Q,R\in\mathbb{R}[X],\,\MDC(BQ+R,B)=\MDC(B,R)\quad\text{(aplicação de $\MDC(a+ub,b)=\mdc(a,b)$ ao caso da divisão euclidiana}\\
\text{Vamos continuar dividindo, dessa vez $x^n-1$ por $x^{r_0}-1$ definindo $q_1,r_1\in\mathbb{N}$ tais que $n=q_1r_0+r_1$ com $r_1<r_0$}:\\
x^n-1=x^{q_1r_0+r_1}-1=(x^{r_0}-1)(x^{(q_1-1)r_0+r_1}+x^{(q_1-2)r_0+r_1}+...+x^{r_1})+x^{r_1}-1\\
\text{e então }\mdc(x^{r_0}-1,x^n-1)=\mdc(x^{r_0}-1,x^{r_1}-1)\\
\text{e agora com }r_0=q_2r_1+r_2\text{ temos }x^{r_0}-1=(x^{r_1}-1)(x^{(q_2-1)r_1+r_2}+x^{(q_2-2)r_1+r_2}+...+x^{r_2})+r^{r_2}-1\\
\text{e então }\mdc(x^{r_0}-1,x^{r_1}-1)=\mdc(x^{r_2}-1,x^{r_1}-1)\\
\mdc(x^m-1,x^n-1)=\mdc(x^n-1,x^{r_0}-1)=\mdc(x^{r_0}-1,x^{r_1}-1)=...=\mdc(x^{r_k}-1,x^{r_{k+1}}-1)=...=\mdc(x^{r_{n-2}}-1,x^{r_{n-1}}-1)\\
[/tex3]

[tex3]
\text{Seja }(r_n)=(r_0;r_1;r_2;...;r_{n-1})\text{ sequencia dos restos }. \\
\text{Sempre existe um resto nulo na sequencia e se for só um é } x_{n-1}=0\text{ já que }n>r_0>r_1>r_2>...>r_{n-1}\\
\text{Se }r_k \text{é o primeiro resto nulo da sequencia, temos então que }r_{k-1}=\mdc(m,n)\quad\text{(algoritmo de Euclides)}\\
\text{e também}(x^{r_{k-2}}-1)=(x^{r_{k-1}}-1)(x^{(q_{k}-1)r_{k-1}+r_{k}}+x^{(q_{k}-2)r_{k-1}+r_{k}}+...+x^{r_{k}})+x^{r_k}-1\quad(1)\\
(1)\implies \mdc (x^{r_{k-2}}-1,x^{r_{k-1}}-1)=\mdc(x^{r_{k-1}}-1,x^{r_{k}}-1)=\mdc(x^{r_{k-1}}-1,0)=x^{r_{k-1}}-1=x^{\mdc(m,n)}-1\\
\text{e já que }\mdc(x^m-1,x^n-1)=\mdc(x^{r_{k-1}}-1,x^{r_{k}}-1) \text{ chegamos no resultado:}\\
\fbox{$\mdc(x^m-1,x^n-1)=x^{\mdc(m,n)}-1$}
[/tex3]

[rcompany]

\text{Sempre existe um resto nulo na sequencia e se for só um é } x_{n-1}=0\text{ já que }n>r_0>r_1>r_2>...>r_{n-1}\\

Corrigir por :
[tex3]\text{Sempre existe um resto nulo na sequencia e se for só um é } \bf{r_{n-1}=0}[/tex3] [tex3]\text{ já que }n>r_0>r_1>r_2>...>r_{n-1}\\[/tex3]