Pré-Vestibular ⇒ Ufrgs - Polinômios Tópico resolvido

[guuigo]

Se [tex3]p(z)[/tex3] é um polinômio de coeficientes reais e [tex3]p(i) = 2 - i[/tex3], então [tex3]p(-i)[/tex3] vale:

a) [tex3]-2 + i [/tex3]
b) [tex3]2 + i [/tex3]
c) [tex3]-2 - i [/tex3]
d) [tex3]1 + 2i [/tex3]
e) [tex3]1 - 2i[/tex3]

Resposta

---

gabarito: b

Que propriedade é essa que relaciona o conjugado de um valor [tex3]x[/tex3] com o conjugado de um valor em [tex3]p(x)[/tex3]? Além disso, por que a questão não possui resposta para o polinômio de coeficientes reais [tex3]p(z) = az^3 + bz[/tex3]?

[thalesaf12]

passo 1: escrever explicitamente a forma geral de um polinômio com coeficientes reais

seja um polinômio [tex3] p(z) [/tex3] com coeficientes reais da forma

[tex3] p(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \dots + a_1 z + a_0 [/tex3],

onde todos os coeficientes [tex3] a_k [/tex3] são reais

passo 2: calcular o conjugado de [tex3] p(z) [/tex3]

o conjugado de [tex3] p(z) [/tex3] é dado por

[tex3] \overline{p(z)} = \overline{a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \dots + a_1 z + a_0} [/tex3]

como o conjugado se distribui na soma e os coeficientes [tex3] a_k [/tex3] são reais, temos

[tex3] \overline{p(z)} = a_n \overline{z^n} + a_{n-1} \overline{z^{n-1}} + \dots + a_1 \overline{z} + a_0 [/tex3]

passo 3: calcular o conjugado de [tex3] i^n [/tex3]

sabemos que o conjugado de [tex3] i [/tex3] é [tex3] -i [/tex3], então usando a propriedade do conjugado na potência,

[tex3] \overline{i^n} = (-i)^n [/tex3]

passo 4: aplicar isso ao problema

substituindo [tex3] z = i [/tex3], temos

[tex3] p(i) = a_n i^n + a_{n-1} i^{n-1} + \dots + a_1 i + a_0 [/tex3]

se tomamos o conjugado, usamos a propriedade do passo 3 para obter

[tex3] \overline{p(i)} = a_n (-i)^n + a_{n-1} (-i)^{n-1} + \dots + a_1 (-i) + a_0 [/tex3]

como isso é exatamente [tex3] p(-i) [/tex3], concluímos que

[tex3] p(-i) = \overline{p(i)} [/tex3]

isso justifica por que, para um polinômio de coeficientes reais, o valor em [tex3] -i [/tex3] é sempre o conjugado do valor em [tex3] i [/tex3].