Pré-Vestibular ⇒ (Embasamento em Geometria Plana- Rufino)- Teorema de Menelaus Tópico resolvido

[K1llua]

Sejam [tex3]ABC[/tex3] um triângulo e [tex3]D[/tex3] e [tex3]E[/tex3] pontos sobre os lados [tex3]BC[/tex3] e [tex3]AB[/tex3], respectivamente, tais que [tex3]\frac{AE}{BE}=\frac{1}{3}[/tex3] e [tex3]\frac{CD}{BD}=\frac{1}{2}[/tex3]. Denotemos por [tex3]F[/tex3] o ponto de interseção das cevianas [tex3]AD[/tex3] e [tex3]CE[/tex3]. Calcule o valor da soma [tex3]\frac{EF}{CF}+\frac{AF}{DF}[/tex3].

Gabarito

Resposta

---

[tex3]\frac{3}{2}[/tex3]

Boa tarde! Alguém poderia me ajudar com essa questão? Por favor.

[petrasMOD]

@K1llua
Triângulo ABC.
D em BC tal que [tex3]\frac{CD}{BD} = \frac{1}{2} \implies \frac{BD}{DC} = 2.[/tex3]
E em AB tal que[tex3] \frac{AE}{BE} = \frac{1}{3}[/tex3].
F é o ponto de interseção das cevianas AD e CE.

Aplicando o Teorema de Menelaus


Considere o triângulo BCE e a reta transversal A-F-D. Os pontos de interseção da reta transversal com os lados (ou seus prolongamentos) do triângulo BCE são:
D sobre o lado BC.
F sobre o lado CE.
A sobre o prolongamento do lado EB.

Aplicando o Teorema de Menelaus ao triângulo BCE com a reta transversal ADF:
[tex3]\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CF}{FE} \cdot \frac{EA}{AB} = 1[/tex3]

Substituindo os valores conhecidos:
[tex3]\frac{BD}{DC} = 2\\
\frac{AE}{BE} = \frac{1}{3} \implies \frac{AE}{AE + BE} = \frac{AE}{AE + 3AE} = \frac{AE}{4AE} = \frac{1}{4}\\
\therefore \frac{EA}{AB} = \frac{1}{4}.[/tex3]

[tex3]2 \cdot \frac{CF}{FE} \cdot \frac{1}{4} = 1[/tex3][tex3]\frac{CF}{2FE} = 1[/tex3][tex3]CF = 2FE \implies \frac{EF}{CF} = \frac{1}{2}[/tex3]

Considere o triângulo ABD e a reta transversal C-F-E. Os pontos de interseção da reta transversal com os lados (ou seus prolongamentos) do triângulo ABD são:
E sobre o lado AB.
F sobre o lado AD.
C sobre o prolongamento do lado BD.

Aplicando o Teorema de Menelaus ao triângulo ABD com a reta transversal CEF:
[tex3]\frac{AE}{EB} \cdot \frac{BC}{CD} \cdot \frac{DF}{FA} = 1[/tex3]

Substituindo os valores conhecidos:
[tex3]\frac{AE}{EB} = \frac{1}{3}\\
\frac{CD}{BD} = \frac{1}{2} \implies BD = 2CD.\\
BC = BD + CD = 2CD + CD = 3CD.\\
\therefore , \frac{BC}{CD} = \frac{3CD}{CD} = 3.[/tex3]

[tex3]\frac{1}{3} \cdot 3 \cdot \frac{DF}{FA} = 1 \implies AF = DF[/tex3]

A soma pedida é [tex3]\frac{EF}{CF} + \frac{AF}{DF}[/tex3]

Substituindo os valores encontrados:
[tex3]\frac{EF}{CF} + \frac{AF}{DF} = \frac{1}{2} + 1 = \boxed{ \frac{3}{2}}[/tex3]

[K1llua]

@K1llua
Triângulo ABC.
D em BC tal que [tex3]\frac{CD}{BD} = \frac{1}{2} \implies \frac{BD}{DC} = 2.[/tex3]
E em AB tal que[tex3] \frac{AE}{BE} = \frac{1}{3}[/tex3].
F é o ponto de interseção das cevianas AD e CE.

Aplicando o Teorema de Menelaus


Considere o triângulo BCE e a reta transversal A-F-D. Os pontos de interseção da reta transversal com os lados (ou seus prolongamentos) do triângulo BCE são:
D sobre o lado BC.
F sobre o lado CE.
A sobre o prolongamento do lado EB.

Aplicando o Teorema de Menelaus ao triângulo BCE com a reta transversal ADF:
[tex3]\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CF}{FE} \cdot \frac{EA}{AB} = 1[/tex3]

Substituindo os valores conhecidos:
[tex3]\frac{BD}{DC} = 2\\
\frac{AE}{BE} = \frac{1}{3} \implies \frac{AE}{AE + BE} = \frac{AE}{AE + 3AE} = \frac{AE}{4AE} = \frac{1}{4}\\
\therefore \frac{EA}{AB} = \frac{1}{4}.[/tex3]

[tex3]2 \cdot \frac{CF}{FE} \cdot \frac{1}{4} = 1[/tex3][tex3]\frac{CF}{2FE} = 1[/tex3][tex3]CF = 2FE \implies \frac{EF}{CF} = \frac{1}{2}[/tex3]

Considere o triângulo ABD e a reta transversal C-F-E. Os pontos de interseção da reta transversal com os lados (ou seus prolongamentos) do triângulo ABD são:
E sobre o lado AB.
F sobre o lado AD.
C sobre o prolongamento do lado BD.

Aplicando o Teorema de Menelaus ao triângulo ABD com a reta transversal CEF:
[tex3]\frac{AE}{EB} \cdot \frac{BC}{CD} \cdot \frac{DF}{FA} = 1[/tex3]

Substituindo os valores conhecidos:
[tex3]\frac{AE}{EB} = \frac{1}{3}\\
\frac{CD}{BD} = \frac{1}{2} \implies BD = 2CD.\\
BC = BD + CD = 2CD + CD = 3CD.\\
\therefore , \frac{BC}{CD} = \frac{3CD}{CD} = 3.[/tex3]

[tex3]\frac{1}{3} \cdot 3 \cdot \frac{DF}{FA} = 1 \implies AF = DF[/tex3]

A soma pedida é [tex3]\frac{EF}{CF} + \frac{AF}{DF}[/tex3]

Substituindo os valores encontrados:
[tex3]\frac{EF}{CF} + \frac{AF}{DF} = \frac{1}{2} + 1 = \boxed{ \frac{3}{2}}[/tex3]

Obrigada!