Pré-Vestibular ⇒ (AREF- Noções de matemática)- Circunferência Trigonométrica Tópico resolvido

[K1llua]

Dados os conjuntos [tex3]E=\left\{ x|x=\frac{k\pi }{3}, k\in \mathbb{Z}\right\}[/tex3], [tex3]F=\left\{ x|x=\frac{\pi }{3}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\right\}[/tex3], [tex3]G=\left\{ x|x=\frac{2k\pi }{3}\right\}[/tex3], determine:

b) [tex3]E\cap G\cap F[/tex3]

Gabarito:

Resposta

---

[tex3]E\cap F\cap G=\left\{ x|x=\frac{4\pi }{3}+2k\pi ,(k\in \mathbb{Z})\right\}[/tex3]

Olá, boa noite. Será que alguém poderia me ajudar com essa questão? Por favor.

[petrasMOD]

@K1llua

Conjunto [tex3]E = {x | x = \frac{k\pi}{3}, k \in \mathbb{Z}}[/tex3]
Os elementos de E são múltiplos de [tex3]\frac{\pi}{3}: ..., -\pi, -\frac{2\pi}{3}, -\frac{\pi}{3}, 0, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \pi, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, 2\pi, ..[/tex3]

Conjunto [tex3]G = {x | x = \frac{2k\pi}{3}, k \in \mathbb{Z}}[/tex3]
Os elementos de G são múltiplos pares de [tex3]\frac{\pi}{3}, ..., -2\pi, -\frac{4\pi}{3}, - \frac{2\pi}{3}, 0, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, 2\pi, \frac{8\pi}{3}, ...[/tex3]
Note que [tex3]G \subset E. Se~ x \in G \implies x = \frac{2k\pi}{3} = \frac{(2k)\pi}{3}.[/tex3]

Como 2k também é um inteiro, [tex3]x \in E[/tex3].

[tex3]E \cap G. Como~ G \subset E, E \cap G = G.[/tex3]

Conjunto [tex3]F = {x | x = \frac{\pi}{3} + \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}}[/tex3]

Os elementos de F são da forma [tex3]\frac{(2+3k)\pi}{6}[/tex3]:

Então, precisamos encontrar [tex3]G \cap F[/tex3].

Conjunto [tex3]G = \{..., -2\pi, -\frac{4\pi}{3}, -\frac{2\pi}{3}, 0, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, 2\pi, \frac{8\pi}{3}, ...\}[/tex3]

Conjunto [tex3]F: ..., -\frac{5\pi}{3}, -\frac{7\pi}{6}, -\frac{2\pi}{3}, -\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{3}, \frac{11\pi}{6}, ...[/tex3]


Os elementos comuns encontrados até agora são [tex3]-\frac{2\pi}{3} e \frac{4\pi}{3}[/tex3].

A diferença entre[tex3]-\frac{2\pi}{3}~ e~ \frac{4\pi}{3} ~é~ \frac{4\pi}{3} - (-\frac{2\pi}{3}) = \frac{6\pi}{3} = 2\pi.[/tex3] Como os conjuntos G e F são periódicos, os outros elementos comuns serão obtidos adicionando ou subtraindo múltiplos de [tex3]2\pi.[/tex3]

Portanto, [tex3]\boxed{E \cap G \cap F = G \cap F = \{x | x = -\frac{2\pi}{3} + 2n\pi, n \in \mathbb{Z}\} = \{x | x = \frac{4\pi}{3} + 2m\pi, m \in \mathbb{Z}\}.}[/tex3]
AS duas formas são válidas como respsota.

[K1llua]

@K1llua

Conjunto [tex3]E = {x | x = \frac{k\pi}{3}, k \in \mathbb{Z}}[/tex3]
Os elementos de E são múltiplos de [tex3]\frac{\pi}{3}: ..., -\pi, -\frac{2\pi}{3}, -\frac{\pi}{3}, 0, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \pi, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, 2\pi, ..[/tex3]

Conjunto [tex3]G = {x | x = \frac{2k\pi}{3}, k \in \mathbb{Z}}[/tex3]
Os elementos de G são múltiplos pares de [tex3]\frac{\pi}{3}, ..., -2\pi, -\frac{4\pi}{3}, - \frac{2\pi}{3}, 0, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, 2\pi, \frac{8\pi}{3}, ...[/tex3]
Note que [tex3]G \subset E. Se~ x \in G \implies x = \frac{2k\pi}{3} = \frac{(2k)\pi}{3}.[/tex3]

Como 2k também é um inteiro, [tex3]x \in E[/tex3].

[tex3]E \cap G. Como~ G \subset E, E \cap G = G.[/tex3]

Conjunto [tex3]F = {x | x = \frac{\pi}{3} + \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}}[/tex3]

Os elementos de F são da forma [tex3]\frac{(2+3k)\pi}{6}[/tex3]:

Então, precisamos encontrar [tex3]G \cap F[/tex3].

Conjunto [tex3]G = \{..., -2\pi, -\frac{4\pi}{3}, -\frac{2\pi}{3}, 0, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, 2\pi, \frac{8\pi}{3}, ...\}[/tex3]

Conjunto [tex3]F: ..., -\frac{5\pi}{3}, -\frac{7\pi}{6}, -\frac{2\pi}{3}, -\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{3}, \frac{11\pi}{6}, ...[/tex3]


Os elementos comuns encontrados até agora são [tex3]-\frac{2\pi}{3} e \frac{4\pi}{3}[/tex3].

A diferença entre[tex3]-\frac{2\pi}{3}~ e~ \frac{4\pi}{3} ~é~ \frac{4\pi}{3} - (-\frac{2\pi}{3}) = \frac{6\pi}{3} = 2\pi.[/tex3] Como os conjuntos G e F são periódicos, os outros elementos comuns serão obtidos adicionando ou subtraindo múltiplos de [tex3]2\pi.[/tex3]

Portanto, [tex3]\boxed{E \cap G \cap F = G \cap F = \{x | x = -\frac{2\pi}{3} + 2n\pi, n \in \mathbb{Z}\} = \{x | x = \frac{4\pi}{3} + 2m\pi, m \in \mathbb{Z}\}.}[/tex3]
AS duas formas são válidas como respsota.

Muito obrigada!!!