Pré-Vestibular ⇒ 2 - Trigonometria Tópico resolvido

[Atendimento]

A imagem ilustra um octógono regular no qual é possível mostrar (tente) que o ângulo α vale 22,5°. Calculando a tangente de 22,5°, obtemos:

A) 2.

B) [tex3]\sqrt{2}[/tex3].

C)[tex3]\sqrt{5}[/tex3]

D)[tex3]\sqrt{2}+1[/tex3]

E)[tex3]\sqrt{2}-1[/tex3]

Resposta

---

E

[cajuADMIN]

Olá, @Atendimento.

Podemos marcar o triângulo retângulo BDC e trabalhar no triângulo ADC.

Usando as relações trigonométricas no triângulo retângulo, chegamos em:

[tex3]\tg(22,5^\circ)=\frac{CD}{AD}=\frac{\frac{L\sqrt{2}}{2}}{L+\frac{L\sqrt{2}}{2}}[/tex3]

[tex3]\tg(22,5^\circ)=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}[/tex3]

[tex3]\tg(22,5^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{2}{2+\sqrt{2}}[/tex3]

[tex3]\tg(22,5^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}[/tex3]

Racionalizando o denominador:

[tex3]\tg(22,5^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}\cdot\frac{2-\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}[/tex3]

[tex3]\tg(22,5^\circ)=\frac{\sqrt{2}\cdot(2-\sqrt{2})}{2^2-(\sqrt{2})^2}[/tex3]

[tex3]\tg(22,5^\circ)=\frac{2\sqrt{2}-2}{2}[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{\tg(22,5^\circ)=\sqrt{2}-1}}[/tex3]

[rcompany]

[tex3]
\text{Octógono regular:}\\
\text{- o ângulo central mede }\frac{360}{8}=45°\\
\text{- o ângulo externo também mede 45°}\\
\text{- o ângulo interno mede $\frac{180\cdot(8-2)}{8}$=135°}\\
\alpha=\frac{1}{2}\angle BAO=\frac{1}{2}\cdot 45°=22,5°\quad\text{(ângulo no centro)}\\
\tan\alpha=\frac{CI}{AI}=\frac{AI}{AB+BI}=\frac{a\cos45°}{a+a\cos45°}=\frac{\frac{a}{\sqrt{2}}}{a+\frac{a}{\sqrt{2}}}=\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1


[/tex3]