Pré-Vestibular ⇒ 4 - Geometria Tópico resolvido

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Quanto vale a soma dos vértices da estrela?

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Resposta

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180º

[rcompany]

[tex3]\text{Olhando o pentágono no centro da estrela: }\alpha_1,\alpha_2,...\alpha_5\text{ seus ângulos internos, associados com}\\
\text{os vértices }V_1,V_2,...,V5\text{ desse mesmo pentágono}\\
\text{A soma dos }\alpha_i\text{ vale }(5-2)\pi=3\pi\\
P_i \text{ a ponta da estrela relativa os vértices }V_i\text{ e }V_{i+1}\quad\text{(com $V_6=V_1$)}\\
\beta_i\text{ o ângulo interno na ponta }P_1\\
\beta_i=\pi-\angle P_iV_iV_{i+1}-\angle P_iV_{i+1}iV_{i}=\pi-(\pi-\alpha_i)-(\pi-\alpha_{i+1})=\alpha_i+\alpha_{i+1}-\pi\\
\text{Somando os }\beta_i\text{ obtemos }S=2(\alpha_1+\alpha_2+...+\alpha_5)-5\pi\\
\text{ e já que }\alpha_1+\alpha_2+...+\alpha5=3\pi,\text{ temos }S=6\pi-5\pi=\pi=180°
[/tex3]