Pré-Vestibular ⇒ 1 - Geometria Tópico resolvido

[Atendimento]

Traçamos as diagonais [tex3]\overline{AC}[/tex3] e [tex3]\overline{BD}[/tex3] do trapézio retângulo[tex3] ABCD[/tex3] mostrado na figura.
A interseção dessas diagonais é o ponto [tex3]P[/tex3], e as áreas dos triângulos [tex3]APD[/tex3] e [tex3]ABP[/tex3] são, respectivamente,
[tex3]10\,\text{cm}^2 e\ 20\,\text{cm}^2.[/tex3].

Qual a área do trapézio [tex3] ABCD[/tex3]?

Resposta

---

[tex3]90cm^2[/tex3]

[rcompany]

[tex3]\text{a ceviana $AP$ divide $\triangle ABD$ em duas áreas com razão $2:1$}\implies BP=2PD\\
\text{No trapézio $ABCD$, $AC$ e $BD$ são diagonais e se cruzam em $P$: }BP=2PD\implies CP=2AP\\
CP=2AP\text{ e } S(ADP)=10\implies S(DPC)=20\\
\triangle ADP\sim\triangle BPC \text{ com razão }r=\frac{PC}{AP}=2\implies S(BPC)=r^2S(ADP)=4\cdot10=40\\
S(ABCD)=S(ABD)+S(DPC)+S(BPC)=30+20+40=90

\\[/tex3]

[Atendimento]

@rcompany , tudo bem?

O gabarito do exercício continua sendo [tex3]xcm^2[/tex3]

[rcompany]

Como pode dar 40 se considerando a altura [tex3]DH [/tex3] do trapézio [tex3]ABCD [/tex3] temos [tex3]S(ABHD)=2\cdot30=60[/tex3]?
40 é a área do triângulo [tex3]\triangle BPC[/tex3]
O gabarito está errado.

[petrasMOD]

@Atendimento

È fácil perceber que traçando a altura por D teremos um retangulo cuja area será 30.2 = 60..portanto 40 seria impossível para área do trapézio.
A resolução do rmc está correta

[Atendimento]

@petrasMOD , @rcompany , Segue a solução:

Observemos que os triângulos ABD e ACD têm a mesma base, com comprimento b, e a mesma altura, com comprimento h, sendo esses triângulos de mesma área e por consequência a área do triângulo DPC é também [tex3]20cm^2[/tex3]

A questão surge em determinar a área do triângulo BPC para que calculemos a área do trapézio ABCD.

Vemos que os triângulos Os triângulos [tex3]ABD[/tex3] e [tex3]APD[/tex3] têm a mesma base[tex3] \overline{AD}[/tex3], no entanto, a área de [tex3]ABD[/tex3] é o triplo da área de [tex3]APD[/tex3]. Com isso, concluímos que a altura do triângulo [tex3]ABD[/tex3] é o triplo da altura do triângulo [tex3]APD[/tex3].

Visto que a altura do triângulo [tex3]ABD[/tex3] com relação ao lado [tex3]\overline{AD}[/tex3] é definida pelo segmento [tex3]\overline{AB}[/tex3],
concluímos que a soma das alturas dos triângulos [tex3]BPC[/tex3] e [tex3]APD[/tex3] é exatamente a altura [tex3]h[/tex3] do triângulo [tex3]ABD[/tex3].
Logo,

[tex3]h_{BPC} = 2 \cdot h_{APD}.[/tex3]

Os triângulos [tex3]APD[/tex3] e [tex3]BPC[/tex3] são semelhantes, com razão de semelhança [tex3]2[/tex3],
e a área do triângulo [tex3]APD[/tex3] é [tex3]10\,\text{cm}^2.[/tex3]

Pelo Lembrete (4), a área do triângulo [tex3]BPC[/tex3] é

[tex3]2^2 \times 10 = 40\,\text{cm}^2.[/tex3]

Portanto, a área do trapézio [tex3]ABCD[/tex3] é

[tex3]\boxed{20 + 10 + 20 + 40 = 90\,\text{cm}^2.}[/tex3]

[rcompany]

É a mesma coisa, só que usando a proporção 2:1 na altura do trapézio que passa por P no lugar de usar essa proporção nas diagonais do trapézio.