Pré-Vestibular ⇒ 5 - Geometria Plana Tópico resolvido

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A figura indica um paralelepípedo reto-retângulo de dimensões [tex3]\sqrt{2x} \sqrt{2x} \sqrt{7}[/tex3], sendo A, B, C e D quatro de seus vértices.

A distância de B até o plano que contém A, D e C é igual a

[tex3]\text{A) $\frac{\sqrt{11}}{4}$

B) $\frac{\sqrt{14}}{4}$

C) $\frac{\sqrt{11}}{2}$

D) $\frac{\sqrt{13}}{2}$

E) $\frac{3\sqrt{7}}{2}$}[/tex3]

[GiovanaMSPMOD]

Seja M o ponto médio do segmento CD. Note que BM equivale à metade da diagonal do quadrado da base do paralelepípedo. Ademais, seja o segmento BN perpendicular ao plano que contém o triângulo ACD.

Agora, façamos a construção geométrica que nos fornecerá a solução do problema.

https://www.geogebra.org/classic/qwrkuxda

Da figura: [tex3]\mathrm{BM=\frac{\ell \times \sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}{2}=1}[/tex3].

Por Pitágoras no triângulo ABM: [tex3]\mathrm{AM=\sqrt{AB^2+BM^2}=\sqrt{\left(\sqrt{7}\right)^2+(1)^2}=2\sqrt{2}}[/tex3].

Pelas relações métricas no triângulo ABM: [tex3]\mathrm{BN\times \cancelto{\ 2\sqrt{2}}{AM}=\cancelto{\ \sqrt{7}}{AB}\times \cancelto{\ 1}{BM}\ \therefore\ \boxed{\mathrm{BN=\frac{\sqrt{14}}{4}}}}[/tex3].