Pré-Vestibular ⇒ (PUC-RIO) Equação Modular Tópico resolvido

[ALANSILVA]

Encontre todas as soluções reais distintas da equação abaixo. Explicite o número de soluções reais distintas.


[tex3]\left|\ {x^2-5}{|x|}\right|=6[/tex3]

[ProfLaplace]

Primeiro observe que [tex3]x^2=|x|^2[/tex3] para qualquer [tex3]x[/tex3] real, de forma que podemos trocar [tex3]x^2[/tex3] por [tex3]|x|^2.[/tex3]
Então a equação fica [tex3]\left||x|^2-5|x|\right|=6[/tex3].
Agora substitua [tex3]|x|[/tex3] por [tex3]y[/tex3]:
[tex3]\left|y^2-5y\right|=6 \rightarrow y^2-5y=\pm 6 \Rightarrow y^2-5y\pm 6=0.[/tex3]
Resolvendo [tex3]y^2-5y+6=0[/tex3] obtemos [tex3]y=2[/tex3] ou [tex3]y=3.[/tex3]
Resolvendo [tex3]y^2-5y-6=0[/tex3] obtemos [tex3]y=-1[/tex3] ou [tex3]y=6.[/tex3]

Agora é só voltar para [tex3]x[/tex3]:

[tex3]|x|=2 \Rightarrow x=2[/tex3] ou [tex3]x=-2.[/tex3]
[tex3]|x|=3 \Rightarrow x=3[/tex3] ou [tex3]x=-3.[/tex3]
[tex3]|x|=-1 \Rightarrow [/tex3] Nenhum valor real.
[tex3]|x|=6 \Rightarrow x=6[/tex3] ou [tex3]x=-6.[/tex3]

[tex3]S=\{-6,\,-3,\,-2,\,2,\,3,\,6\}[/tex3]
Logo temos 6 soluções reais distintas.

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@ProfLaplace obrigado