Pré-Vestibular ⇒ logaritmo

[ric94626]

Sobre a equação logarítmica [tex3]3 – 2\cdot \log_2(2 + x) – 2\cdot \log_2(2 – x) = 0[/tex3], é correto afirmar que

a) a equação não possui solução real.
b) a equação possui uma única solução real.
c) a equação possui duas soluções reais positivas.
d) a equação possui duas soluções reais: uma positiva e a outra negativa.

Resposta

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Gab d

[ProfLaplace]

[tex3]3=2\log_{2}(2+x)+2\log_{2}(2-x)[/tex3]
[tex3]\frac{3}{2}=\log_{2}(2+x)+\log_{2}(2-x)[/tex3]
[tex3]\frac{3}{2}=\log_{2}[(2+x)(2-x)][/tex3]
[tex3]2^{\frac{3}{2}}=4-x^2[/tex3]
[tex3]x^2=4-2\sqrt{2}[/tex3]
Temos que [tex3]4-2\sqrt{2}>0[/tex3] pois [tex3]\sqrt{2}<2\cdot [/tex3]
Logo as soluções são:
[tex3]x=\pm\sqrt{4-2\sqrt{2}}\cdot [/tex3]
Ou seja, uma negativa e outra positiva.
Vc pode verificar que ambas satisfazem a condição de existência. O Petras já fez isso, então não vou repetir.
Letra D.

[petrasMOD]

Condição de Existência (C.E.)

Para que os logaritmos [tex3]\log_2(2+x)[/tex3] e [tex3]\log_2(2-x)[/tex3] sejam definidos no conjunto dos números reais, seus logaritmandos devem ser positivos:

1. 2 + x > 0 [tex3]\rightarrow [/tex3] x > -2
2. 2 - x > 0 [tex3]\rightarrow [/tex3] x < 2

A condição de existência exige que a solução esteja no intervalo: [tex3]\mathbf{-2 < x < 2}[/tex3]

[tex3]3 - 2 \cdot \log_2(2 + x) - 2 \cdot \log_2(2 - x) = 0\\
3 = 2 \cdot \log_2(2 + x) + 2 \cdot \log_2(2 - x)\\
3 = 2 \cdot [\log_2(2 + x) + \log_2(2 - x)]\\
(\log_b A + \log_b B = \log_b (A \cdot B)):\\
3 = 2 \cdot \log_2[(2 + x)(2 - x)]\\
(2+x)(2-x) = 2^2 - x^2 = 4 - x^2.\\
3 = 2 \cdot \log_2(4 - x^2)\\
\frac{3}{2} = \log_2(4 - x^2)[/tex3]

[tex3]4 - x^2 = 2^{3/2}\\
4 - x^2 = \sqrt{8}\\
x^2 = 4 - \sqrt{8}\\
x = \pm \sqrt{4 - \sqrt{8}}[/tex3]

Análise das Soluções Reais

A equação possui duas soluções:
[tex3]x_1 = \sqrt{4 - \sqrt{8}}[/tex3]
[tex3]x_2 = -\sqrt{4 - \sqrt{8}}[/tex3]


Como 4 é maior que [tex3]\sqrt{8} [/tex3], a expressão sob a raiz [tex3](4 - \sqrt{8})[/tex3] é positiva. Portanto, as duas soluções são números reais

Verificação da Condição de Existência [tex3](-\mathbf{2 < x < 2})[/tex3]

Precisamos verificar [tex3]0 < 4 - \sqrt{8} < 4[/tex3] para garantir que [tex3]\sqrt{4-\sqrt{8}} < 2.[/tex3]
[tex3] 4 - \sqrt{8} > 0 \implies 4 > \sqrt{8}\\
4 - \sqrt{8} < 4 \implies -\sqrt{8} < 0.[/tex3]

Portanto, [tex3]0 < 4 - \sqrt{8} < 4[/tex3]
[tex3]0 < \sqrt{4 - \sqrt{8}} < \sqrt{4} \implies 0 < \sqrt{4 - \sqrt{8}} < 2[/tex3]

As soluções estão, de fato, no intervalo (-2, 2).

A equação possui duas soluções reais distintas que satisfazem a condição de existência: uma positiva e uma negativa