Pré-Vestibular ⇒ (PUC-RIO 2026/1) Probabilidades Tópico resolvido

[ALANSILVA]

Uma urna contém 40 bolinhas. Dentre as 40 bolinhas, 20 são vermelhas e numeradas de 1 a 20; as outras 20 são azuis e também numeradas de 1 a 20.

Retiram-se três bolinhas simultaneamente e ao acaso. Qual é a probabilidade de que as três bolinhas possam ser ordenadas de tal forma que os três números formem uma progressão aritmética?

Resposta

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Gabatito:[tex3]\frac{18}{247}[/tex3]

[ArquiBaude]

O cerne dessa questão é conseguir calcular quantas P.A's são possíveis de se obter com as bolhinhas dessa urna. Se chamarmos o número de P.A's de [tex3]P[/tex3], a resposta final será [tex3]\frac{8P}{\binom{40}{3}}[/tex3]. O 8 se deve ao fato de que as bolinhas possuem duas cores, azul e vermelho, então uma trina de bolinhas válida pode acontecer de 2*2*2 = 8 maneiras.

Por exemplo, (1,3,5) é um sorteio válido e pode ocorrer com 1 sendo vermelho ou azul, 3 idem e 5 idem. 8 maneiras distintas.

Uma maneira de calcular P é a seguinte:

Fixar um termo central, B, em uma reta numérica, agrupar os termos imediatamente anterior e posterior, em seguida os termos duas casas atrás e duas casas a frente, etc, até atingir algum extremo da reta.

Por exemplo, termo central B = 4 ( O termo central deve estar entre 2 e 19, para ser logicamente central na PA.)
4 : (3,5),(2,6),(1,7) atingimos 1, que é um extremo.

Outro exemplo, termo central B = 15:
15: (14,16),(13,17),(12,18),(11,19),(10,20) atingimos 20, que é o outro extremo para essa questão.

Explorando esse padrão um pouco vemos dois casos:

[tex3]\begin{cases}
P= B-1 / B\leq 10 \\
P=20-B / B >10
\end{cases}[/tex3]

[tex3]P = \sum_{B= 2}^{B=10}B-1 +\sum_{B= 11}^{B=19}20-B [/tex3]

Reindexiando o segundo somatório, [tex3]B \rightarrow B+9[/tex3], onde há B substituimos por B + 9.

[tex3]P = \sum_{B= 2}^{B=10}B-1 +\sum_{B + 9= 11}^{B+9=19}20-(B+9) [/tex3]
[tex3]P = \sum_{B= 2}^{B=10}B-1 +\sum_{B =2}^{B=10}20-(B+9) [/tex3]
Agupar os somatórios:
[tex3]P = \sum_{B= 2}^{B=10}10 = 90[/tex3]

Para cada B entre 2 e 10 ( 9 no total ) somamos um valor de 10.


Maneira mais rápida de calcular P:
Na PA ( A,B,C), A+C deve ser par, assim A e C devem possuir mesma paridade. Há 10 números impares entre 1 e 19 contando estes, logo há (10 escolhe 2) maneiras de termos A e C extremos ímpares: 45 ao todo. O mesmo raciocínio se faz aos extremos pares, 45 ao todo. Assim 90 P.A's. ( O termo do meio aqui é definido automaticamente como sendo a média dos extremos )

Vale a pena conferir o gabarito oficial da PUC que utiliza um raciocínio baseado no termo final da PA ( a, a+r, a +2r )


Resposta: [tex3]\frac{8*90}{\binom{40}{3}} = \frac{18}{247}[/tex3]

Problema extra: Retiram-se três bolinhas simultaneamente e ao acaso. Qual é a probabilidade de que as três bolinhas possam ser ordenadas de tal forma que os três números formem uma progressão aritmética e que uma dessas bolhinha seja a número 10?

Resposta

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Dessas 90 PA's, 18 contém o número 10 em alguma posição, seja extrema ou central.

Resposta: [tex3]\frac{8*18}{\binom{40}{3}} = \frac{18}{1235} [/tex3]