Pré-Vestibular ⇒ (UNIUBE) Geometria Plana Tópico resolvido

[Grisha]

UNIUBE - Seja AB um diâmetro de uma circunferência e AD e BC tangentes a essa circunferência, traçadas de tal modo que AC e BD se interceptam num ponto da mesma circunferência. Se AD = 4 e BC= 9, então AB é igual a:

Este é o desenho que elaborei acredito que esteja correto. Eu abordei essa questão com semelhança de triângulos mas não consegui descobrir AB.

Resposta

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6

[Grisha]

Olá, @Grisha.

Seu desenho está correto, sim.

Chamando o ponto de encontro de [tex3]AD[/tex3] e [tex3]BC[/tex3] de [tex3]P[/tex3], o bizú é ver que o triângulo [tex3]APB[/tex3] é um triângulo inscrito na circunferência e tem um dos lados como diâmetro. Nessa situação, o triângulo é sempre retângulo:

Então podemos ver que os ângulos [tex3]BAP[/tex3] e [tex3]ABP[/tex3] são complementares, assim como [tex3]BAC[/tex3] e [tex3]ACB[/tex3] e também [tex3]BDA[/tex3] e [tex3]ABD[/tex3].

Ou seja, podemos ver que os triângulos [tex3]ADB[/tex3] e [tex3]BAC[/tex3] são semelhantes (por terem todos os ângulos internos iguais).

Aplicamos semelhança de triângulos ([tex3]D[/tex3] é o diâmetro) [tex3]\triangle ADB \sim \triangle BAC[/tex3]:

[tex3]\frac{AD}{AB}=\frac{BA}{BC}[/tex3]

[tex3]\frac{4}{D} = \frac{D}{9}\Rightarrow\boxed{\boxed{D=6}}[/tex3]

Grande abraço,
Prof. Caju

[ArquiBaude]

A solução através da semelhanca de triângulos com o fato que [tex3]\angle{APB} = 90\degree[/tex3] é impecável.

O interessante dessa figura é que independentemente da distância AB, o ponto P permanece a uma mesma altura [tex3]h = \frac{4*9}{4+9}[/tex3], ou seja, a altura do ponto P é sempre a meia média harmônica das alturas dos extremos ( ou das bases do trapézio ABCD ). Também é possível resolver esse problema a partir desse fato, mas a resolução adquire um passo a mais.

A demonstração de que h é a meia média harmônica:

Seja P a interseção dos segmentos AC e BD; H o pé da altura de P relativa ao lado AB; x = AH; y = BH; a = AD; b = BC.
[tex3]\triangle PHB \sim \triangle DAB[/tex3]:
[tex3]\frac{h}{a} = \frac{y}{x+y}[/tex3] (i)

[tex3]\triangle PHA \sim \triangle CBA[/tex3]:
[tex3]\frac{h}{b} = \frac{x}{x+y}[/tex3] (ii)

Somando (i) e (ii):

[tex3]\frac{h}{a} +\frac{h}{b} = \frac{y}{x+y}+ \frac{x}{x+y} = 1 [/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{h = \frac{ab}{a+b} }}[/tex3]

Para a = 4, b= 9
[tex3]h = \frac{36}{13}[/tex3]

Note que h independe da distância entre A e B.


( Se considerarmos o trapézio inteiro, ABCD, P' sendo a interseçao de HP e CD, o segmento HP',será a média harmônica de AD e BC. )

A solução desse problema a partir desse fato, apenas por curiosidade:

PH é a média geométrica de x, y [tex3]\Rightarrow h^2 = xy[/tex3]
Mas, devido às semelhanças ( rearranjando (i) e (ii)) : [tex3]\frac{x}{4} = \frac{y}{9} \overset{\text{componendo}}{=} \frac{x+y}{13} = \frac{AB}{13}[/tex3]
Multiplicando as proporções:
[tex3]\frac{xy}{36} = \frac{AB^2}{13^2} = \frac{h^2}{36} [/tex3]
[tex3] \frac{AB^2}{13^2}= \frac{36^2}{13^2}\frac{1}{36} [/tex3]
[tex3]AB = 6 [/tex3]