Pré-Vestibular ⇒ (FGV 2026/1) Recorrência Tópico resolvido

[ALANSILVA]

Considere um baú que contém três tipos de peças: pirâmides, cubos e esferas. Na etapa inicial (t = 1), antes do procedimento que será descrito a seguir, o baú tem: • P(1) = 2 pirâmides; • C(1) = 2 cubos; • E(1) = 2 esferas. Em cada etapa t (t = 1, 2, 3, …) ocorre o seguinte procedimento: seleciona-se uma peça aleatória do baú. A peça é devolvida ao baú e acrescentam-se novas peças de acordo com as seguintes regras: 1. se a peça selecionada for um cubo: acrescentar ao baú 1 pirâmide e 1 esfera; 2. se a peça selecionada for uma pirâmide: acrescentar ao baú 1 cubo e 1 esfera; 3. se a peça selecionada for uma esfera: acrescentar ao baú 1 cubo, 1 pirâmide e mais 2 esferas. Sejam P(t), C(t) e E(t), respectivamente, o número de pirâmides, cubos e esferas no baú na etapa t, antes do procedimento de seleção de uma peça. Assim, os valores iniciais são P(1), C(1), E(1); depois de realizar a etapa 1, obtemos P(2), C(2), E(2), e assim por diante.

a) Suponha que, na etapa 1, a peça escolhida tenha sido uma pirâmide. Determine P(2), C(2) e E(2).

Resposta

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P(2) = 2, C(2) = 3, E(2) = 3.

b) Determine P(t) + C(t) − E(t) para t = 2025.

Resposta

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2

[edu_landim]

Sejam [tex3]P(t)[/tex3], [tex3]C(t)[/tex3] e [tex3]E(t)[/tex3], respectivamente, o número de pirâmides, cubos e esferas no baú na etapa [tex3]t[/tex3], antes do procedimento de seleção de uma peça.

Inicialmente temos [tex3]P(1)=2\,;\,C(1)=2\,;\,E(1)=2[/tex3]

(a) Se na etapa 1, tirou-se uma pirâmide; essa retornará ao baú e serão acrescentadas um cubo e uma esfera. Assim,

[tex3]P(2) = 2[/tex3]
[tex3]C(2) = C(1) + 1 = 2 +1 = 3[/tex3]
[tex3]E(2) = E(1) + 1 = 2 + 1 = 3[/tex3]

(b) Perceba a quantidade de esfera que acrescentamos numa etapa sempre coincide com a soma das quantidades das outras peças acrescentadas.
Logo [tex3]E(2025) = E(1) + k[/tex3] e [tex3]P(2025) + C(2025) = P(1) + C(1) + k[/tex3].

[tex3]P(2025) + C(2025) - E(2025) = P(1) + C(1) + k - (E(1) + k) [/tex3]
[tex3]\Leftrightarrow P(2025) + C(2025) - E(2025) = P(1) + C(1) + k - E(1) - k[/tex3]
[tex3]\Leftrightarrow P(2025) + C(2025) - E(2025) = P(1) + C(1) - E(1)[/tex3]
[tex3]\Leftrightarrow P(2025) + C(2025) - E(2025) = 2[/tex3]