Pré-Vestibular ⇒ (UNEB - 2016) Geometria Analítica

[JorgeMendes]

Considere-se, no plano cartesiano, o triângulo de vértices M=(k,1), N=(5,1) e P=(3,3). Se o ângulo interno MNP mede 60°, então o valor da constante k está entre

01) -2 e -1
02) -1 e 0
03) 0 e 1
04) 1 e 2
05) 2 e 3

Pela forma que fiz encontrei k = 3, mas não confere com o gabarito.

Resposta

---

04

[petrasMOD]

@JorgeMendes,
Há um erro no enunciado. Para que o valor de k esteja entre 1 e 2, como indica o gabarito, o ângulo de [tex3]60^{\circ}[/tex3] deve estar localizado no vértice M ([tex3]\angle PMN[/tex3]).
O coeficiente angular (m) da reta que passa por N(5, 1) e P(3, 3):
[tex3]m_{NP} = \frac{y_P - y_N}{x_P - x_N} = \frac{3 - 1}{3 - 5} = \frac{2}{-2} = -1[/tex3].
O coeficiente angular m = -1 corresponde a um ângulo de inclinação de [tex3]135^{\circ}[/tex3] em relação ao eixo positivo x, pois [tex3]\tan(135^{\circ}) = -1[/tex3].Como o segmento NM é horizontal, o ângulo entre NM e NP é a diferença entre suas inclinações. Temos duas possibilidades para a posição de M (à esquerda ou à direita de N):A reta NP forma um ângulo de [tex3]45^{\circ} [/tex3]com a horizontal (no sentido para a esquerda).Para que o ângulo interno MNP seja de [tex3]60^{\circ}[/tex3], e sabendo que NP sobe para a esquerda com inclinação de 45^{\circ} em relação ao eixo horizontal, a reta NM deve estar posicionada de modo que o coeficiente angular da reta que contém M e N satisfaça a fórmula da tangente entre duas retas:[tex3]\tan(60^{\circ}) = \left| \frac{m_{NM} - m_{NP}}{1 + m_{NM} \cdot m_{NP}} \right|[/tex3]Como NM é horizontal, [tex3]m_{NM} = 0. [/tex3]Porém, isso resultaria em um ângulo fixo de [tex3]45^{\circ} [/tex3]entre as retas, o que contradiz o enunciado de que o ângulo é [tex3]60^{\circ}.
[/tex3]

O ângulo no vértice N é fixo em [tex3]45^{\circ} [/tex3]devido às coordenadas de N(5,1) e P(3,3).
O vértice M conecta-se a N e P.
Reta MN: Como M=(k, 1) e N=(5, 1), a reta é horizontal. Seu coeficiente angular é [tex3]m_1 = 0[/tex3].
Reta MP: Conecta M(k, 1) a P(3, 3). Seu coeficiente angular é:[tex3]m_2 = \frac{3 - 1}{3 - k} = \frac{2}{3 - k}. [/tex3]
A tangente do ângulo [tex3]\theta[/tex3] entre duas retas é dada por:$[tex3]\tan(\theta) = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 \cdot m_2} \right|\\\theta = 60^{\circ}, m_1 = 0; m_2 = \frac{2}{3-k}\\\tan(60^{\circ}) = \left| \frac{\frac{2}{3-k} - 0}{1 + 0 \cdot \frac{2}{3-k}} \right|\implies\sqrt{3} = \left| \frac{2}{3 - k} \right| [/tex3]

Retirando do módulo:
Caso 1: :[tex3]\sqrt{3} = \frac{2}{3 - k}\implies 3 - k = \frac{2}{\sqrt{3}}\\
3 - k \approx \frac{2}{1,73} \implies3 - k \approx 1,15 \therefore k \approx 1,8453\\
\boxed{1 < k < 2_{//}}[/tex3]

Caso 2: [tex3]\frac{2}{3 - k} = -\sqrt{3}[/tex3]
[tex3]2 = -\sqrt{3}(3 - k)\\
2 = -3\sqrt{3} + k\sqrt{3} \implies k\sqrt{3} = 3\sqrt{3} + 2 \implies k = 3 + \frac{2}{\sqrt{3}}\\k = 3 + \frac{2\sqrt{3}}{3} \implies k \approx 3 + 1,15 \Rightarrow \mathbf{k \approx 4,154}[/tex3]
(Não existe alternativa com essa opção)