Pré-Vestibular ⇒ Álgebra (Parte Inteira) Tópico resolvido

[K1llua]

A quantidade de soluções reais positivas da equação [tex3]x+\left \lfloor \frac{2x}{3}\right \rfloor=\left \lfloor \frac{x}{3}\right \rfloor + \left \lfloor \frac{4x}{3}\right \rfloor[/tex3], sendo [tex3]\left \lfloor k\right \rfloor[/tex3] o maior inteiro menor que ou igual ao número real [tex3]k[/tex3], é:

a) [tex3] 0[/tex3]
b) [tex3]3[/tex3]
c) [tex3]13[/tex3]
d) [tex3]23[/tex3]
e) maior que [tex3]23[/tex3]

Resposta

---

Letra e

Olá, alguém poderia me ajudar com essa questão? Desde já, agradeço.

[ProfLaplace]

Bom vamos lá!
Problema interessante.
Vamos denotar por [tex3]q[/tex3] o piso de [tex3]\frac{x}{3}.[/tex3]
Ou seja, [tex3]q=\left \lfloor \frac{x}{3}\right \rfloor \in \mathbb{N}.[/tex3]
(Considerando aqui os naturais partindo de zero).
Da definição de piso, segue que
[tex3]q\leq \frac{x}{3}<q+1 \Rightarrow 3q\leq x<3q+3 \Rightarrow 0\leq x-3q<3.[/tex3]
Vamos denotar o número do meio de [tex3]r.[/tex3]
Assim, [tex3]r=x-3q,[/tex3] de tal forma que [tex3]0\leq r<3.[/tex3]
De toda essa discussão inicial se segue que [tex3]x=3q+r,[/tex3] com [tex3]0\leq r<3.[/tex3]

Para continuar, vamos relembrar uma propriedade do piso:
[tex3]\lfloor n+a\rfloor=n+\lfloor a\rfloor,[/tex3] quando [tex3]n\in\mathbb{Z}.[/tex3]
Teremos então o seguinte:
[tex3]\left \lfloor \frac{2x}{3}\right \rfloor=\left \lfloor \frac{2(3q+r)}{3}\right \rfloor=\left \lfloor \frac{6q+2r}{3}\right \rfloor=\left \lfloor 2q+\frac{2r}{3}\right \rfloor=2q+\left \lfloor \frac{2r}{3}\right \rfloor.[/tex3]
De forma parecida,
[tex3]\left \lfloor \frac{4x}{3}\right \rfloor=\left \lfloor \frac{4(3q+r)}{3}\right \rfloor=\left \lfloor \frac{12q+4r}{3}\right \rfloor=\left \lfloor 4q+\frac{4r}{3}\right \rfloor=4q+\left \lfloor \frac{4r}{3}\right \rfloor.[/tex3]
Vamos trocar tudo isso na equação original:
[tex3](3q+r)+2q+\left \lfloor \frac{2r}{3}\right \rfloor=q+4q+\left \lfloor \frac{4r}{3}\right \rfloor \Rightarrow r+\left \lfloor \frac{2r}{3}\right \rfloor=\left \lfloor \frac{4r}{3}\right \rfloor.[/tex3]
Vamos analisar essa equação para [tex3]0\leq r<3.[/tex3]

Caso 1: [tex3]0\leq r<\frac{3}{4}.[/tex3]
Temos [tex3]\left \lfloor \frac{2r}{3}\right \rfloor=\left \lfloor \frac{4r}{3}\right \rfloor=0.[/tex3]
Daí segue que [tex3]r=0.[/tex3]

Caso 2: [tex3]\frac{3}{4}\leq r<\frac{3}{2}.[/tex3]
Nesse intervalo, [tex3]\left \lfloor \frac{2r}{3}\right \rfloor=0[/tex3] e [tex3]\left \lfloor \frac{4r}{3}\right \rfloor=1.[/tex3]
Daí segue [tex3]r=1.[/tex3]

Caso 3:[tex3]\frac{3}{2}\leq r <\frac{9}{4}[/tex3].
Nesse intervalo, [tex3]\left \lfloor \frac{2r}{3}\right \rfloor=1[/tex3] e [tex3]\left \lfloor \frac{4r}{3}\right \rfloor=2.[/tex3]
Então [tex3]r+1=2 \Rightarrow r=1.[/tex3]
Mas [tex3]r=1[/tex3] não está no intervalo do caso 3, então jogue fora.

Caso 4: [tex3]\frac{9}{4}\leq r <3.[/tex3]
Aqui, [tex3]\left \lfloor \frac{2r}{3}\right \rfloor=1[/tex3] e [tex3]\left \lfloor \frac{4r}{3}\right \rfloor=3.[/tex3]
Então [tex3]r+1=3 \Rightarrow r=2.[/tex3]
Mas [tex3]r=2[/tex3] não está no intervalo do caso 4, então descarte.

Resumo dos casos: Só podemos ter [tex3]r=0[/tex3] ou [tex3]r=1.[/tex3]
Portanto [tex3]x=3q[/tex3] ou [tex3]x=3q+1.[/tex3]
Ou seja, isso dá infinitos valores para [tex3]x.[/tex3]
A primeira sequência dá os múltiplos de 3 e a segunda sequência dá os sucessores dos múltiplos de 3.
Como são infinitas soluções, em particular essa quantidade é maior do que 23.
Alternativa E.



OBS: Essa solução que fiz é a mais formal.
Mas numa prova teste, vc poderia ter cortado caminho se observasse diretamente que, por exemplo, todo múltiplo de 3 resolve a equação.
Pegue a equação inicial e suponha que [tex3]x=3q,[/tex3] com [tex3]q\in\mathbb{N}^*.[/tex3]
Substituindo esse [tex3]x,[/tex3] tem-se:
[tex3]3q+\left \lfloor \frac{2(3q)}{3}\right \rfloor=\left \lfloor \frac{3q}{3}\right \rfloor + \left \lfloor \frac{4(3q)}{3}\right \rfloor \Rightarrow 3q+2q=q+4q \Rightarrow 5q=5q.[/tex3]
Isso já provaria que todo múltiplo de 3 é solução, e a alternativa já seria seguramente a E.

[K1llua]

Bom vamos lá!
Problema interessante.
Vamos denotar por [tex3]q[/tex3] o piso de [tex3]\frac{x}{3}.[/tex3]
Ou seja, [tex3]q=\left \lfloor \frac{x}{3}\right \rfloor \in \mathbb{N}.[/tex3]
(Considerando aqui os naturais partindo de zero).
Da definição de piso, segue que
[tex3]q\leq \frac{x}{3}<q+1 \Rightarrow 3q\leq x<3q+3 \Rightarrow 0\leq x-3q<3.[/tex3]
Vamos denotar o número do meio de [tex3]r.[/tex3]
Assim, [tex3]r=x-3q,[/tex3] de tal forma que [tex3]0\leq r<3.[/tex3]
De toda essa discussão inicial se segue que [tex3]x=3q+r,[/tex3] com [tex3]0\leq r<3.[/tex3]

Para continuar, vamos relembrar uma propriedade do piso:
[tex3]\lfloor n+a\rfloor=n+\lfloor a\rfloor,[/tex3] quando [tex3]n\in\mathbb{Z}.[/tex3]
Teremos então o seguinte:
[tex3]\left \lfloor \frac{2x}{3}\right \rfloor=\left \lfloor \frac{2(3q+r)}{3}\right \rfloor=\left \lfloor \frac{6q+2r}{3}\right \rfloor=\left \lfloor 2q+\frac{2r}{3}\right \rfloor=2q+\left \lfloor \frac{2r}{3}\right \rfloor.[/tex3]
De forma parecida,
[tex3]\left \lfloor \frac{4x}{3}\right \rfloor=\left \lfloor \frac{4(3q+r)}{3}\right \rfloor=\left \lfloor \frac{12q+4r}{3}\right \rfloor=\left \lfloor 4q+\frac{4r}{3}\right \rfloor=4q+\left \lfloor \frac{4r}{3}\right \rfloor.[/tex3]
Vamos trocar tudo isso na equação original:
[tex3](3q+r)+2q+\left \lfloor \frac{2r}{3}\right \rfloor=q+4q+\left \lfloor \frac{4r}{3}\right \rfloor \Rightarrow r+\left \lfloor \frac{2r}{3}\right \rfloor=\left \lfloor \frac{4r}{3}\right \rfloor.[/tex3]
Vamos analisar essa equação para [tex3]0\leq r<3.[/tex3]

Caso 1: [tex3]0\leq r<\frac{3}{4}.[/tex3]
Temos [tex3]\left \lfloor \frac{2r}{3}\right \rfloor=\left \lfloor \frac{4r}{3}\right \rfloor=0.[/tex3]
Daí segue que [tex3]r=0.[/tex3]

Caso 2: [tex3]\frac{3}{4}\leq r<\frac{3}{2}.[/tex3]
Nesse intervalo, [tex3]\left \lfloor \frac{2r}{3}\right \rfloor=0[/tex3] e [tex3]\left \lfloor \frac{4r}{3}\right \rfloor=1.[/tex3]
Daí segue [tex3]r=1.[/tex3]

Caso 3:[tex3]\frac{3}{2}\leq r <\frac{9}{4}[/tex3].
Nesse intervalo, [tex3]\left \lfloor \frac{2r}{3}\right \rfloor=1[/tex3] e [tex3]\left \lfloor \frac{4r}{3}\right \rfloor=2.[/tex3]
Então [tex3]r+1=2 \Rightarrow r=1.[/tex3]
Mas [tex3]r=1[/tex3] não está no intervalo do caso 3, então jogue fora.

Caso 4: [tex3]\frac{9}{4}\leq r <3.[/tex3]
Aqui, [tex3]\left \lfloor \frac{2r}{3}\right \rfloor=1[/tex3] e [tex3]\left \lfloor \frac{4r}{3}\right \rfloor=3.[/tex3]
Então [tex3]r+1=3 \Rightarrow r=2.[/tex3]
Mas [tex3]r=2[/tex3] não está no intervalo do caso 4, então descarte.

Resumo dos casos: Só podemos ter [tex3]r=0[/tex3] ou [tex3]r=1.[/tex3]
Portanto [tex3]x=3q[/tex3] ou [tex3]x=3q+1.[/tex3]
Ou seja, isso dá infinitos valores para [tex3]x.[/tex3]
A primeira sequência dá os múltiplos de 3 e a segunda sequência dá os sucessores dos múltiplos de 3.
Como são infinitas soluções, em particular essa quantidade é maior do que 23.
Alternativa E.



OBS: Essa solução que fiz é a mais formal.
Mas numa prova teste, vc poderia ter cortado caminho se observasse diretamente que, por exemplo, todo múltiplo de 3 resolve a equação.
Pegue a equação inicial e suponha que [tex3]x=3q,[/tex3] com [tex3]q\in\mathbb{N}^*.[/tex3]
Substituindo esse [tex3]x,[/tex3] tem-se:
[tex3]3q+\left \lfloor \frac{2(3q)}{3}\right \rfloor=\left \lfloor \frac{3q}{3}\right \rfloor + \left \lfloor \frac{4(3q)}{3}\right \rfloor \Rightarrow 3q+2q=q+4q \Rightarrow 5q=5q.[/tex3]
Isso já provaria que todo múltiplo de 3 é solução, e a alternativa já seria seguramente a E.

Muito obrigada pela resolução!