Pré-Vestibular ⇒ (UECE - 2015) Pirâmides Tópico resolvido

[skulllsux189]

A medida da aresta de um tetraedro regular com altura igual a 5 metros é


Opa quero q a resposta não seja dada pela formula da altura do tetraedo, mas pelas relações que da pra fazer numa pirâmide fazendo aqueles triângulos.

Resposta

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r: 5 [tex3]. \sqrt[]{1,5}[/tex3] m

[petrasMOD]

@skulllsux189,

Seja a a medida da aresta do tetraedro. A base é um triângulo equilátero de lado a.A altura dessa base (h_b) é dada por:[tex3]h_b = \frac{a\sqrt{3}}{2}[/tex3]
O pé da altura do tetraedro (H) coincide com o baricentro do triângulo da base. Pela propriedade do baricentro, ele divide a altura da base em duas partes na razão 2:1. A distância do vértice da base até o baricentro (HD que chamaremos de R) é:[tex3]R = \frac{2}{3} h_b = \frac{2}{3} \left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{a\sqrt{3}}{3}[/tex3]
Seja o triângulo retângulo formado pela altura do tetraedro (EH=h), o segmento R (no plano da base) e a aresta lateral (a) que liga o topo ao vértice da base.
Pelo Teorema de Pitágoras nesse triângulo:[tex3]a^2 = h^2 + R^2 (h = 5 ; R = \frac{a\sqrt{3}}{3}) \implies a^2 = 5^2 + \left( \frac{a\sqrt{3}}{3} \right)^2\\a^2 = 25 + \frac{3a^2}{9}= 25 + \frac{a^2}{3}.
\\a^2 = 75 + a^2 \implies3a^2 - a^2 = 75 \implies 2a^2 = 75\\a = \sqrt{\frac{75}{2}} = \frac{\sqrt{25 \cdot 3}}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \implies \frac{5\sqrt{6}}{2}= {5\sqrt\frac{6}{4}} = \boxed{5\sqrt{1.5}_{//}}[/tex3]