Pré-Vestibular ⇒ (UFT - 2009) Trigonometria Tópico resolvido

[murilonves]

Dado [tex3]\sen \theta[/tex3] [tex3]=[/tex3] [tex3]\frac{3}{4}[/tex3] , [tex3]0^\circ < \theta < 90^\circ[/tex3]. O valor de [tex3]\sen 4 \theta[/tex3]
é:

Resposta

---

Resposta: -[tex3]\frac{3}{32}[/tex3].[tex3]\frac{\sqrt {7}}{1}[/tex3]

[hygorvv]

[tex3]\sen (4\theta)=\sen (2\theta + 2\theta)[/tex3]
[tex3]2\sen (2\theta)\cdot \cos (2\theta)[/tex3]
[tex3]2(2\cdot \sen (\theta)\cdot \cos (\theta)\cdot (\cos ^{2}(\theta)-\sen ^{2}(\theta))[/tex3]
[tex3]4\sen (\theta)\cdot \cos (\theta)\cdot (\cos ^{2}(\theta)-\sen ^{2}(\theta)) (I)[/tex3]
da relação fundamental
[tex3]\sen ^{2}(\theta)+\cos ^{2}(\theta)=1[/tex3]
[tex3](\frac{3}{4})^{2}+\cos ^{2}(\theta)=1[/tex3]
[tex3]\cos ^{2}(\theta)=1-\frac{9}{16}[/tex3]
[tex3]\cos ^{2}(\theta)=\frac{7}{16}[/tex3]
[tex3]\cos (\theta)=\frac{\sqrt{7}}{4}[/tex3]


substituindo em (I)
[tex3]4\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{\sqrt{7}}{4}(\frac{7}{16} -\frac{9}{16})[/tex3]
[tex3]\frac{12\cdot \sqrt{7}\cdot (-2)}{16^{2}} \to \frac{-24\cdot \sqrt{7}}{256}[/tex3]
[tex3]\boxed{\sen (4\theta)=\frac{-3\cdot \sqrt{7}}{32}}[/tex3]

espero que compreenda

[murilonves]

E ta de acondo com o gabarito. vlw

Tem como saber a que quadrante pertence sen4 [tex3]\theta[/tex3]?

[hygorvv]

pela relaçao fundamental
[tex3]\sen ^{2}(4\theta)+\cos ^{2}(4\theta)=1 \\ \cos ^{2}(4\theta)=1-(\frac{-3\cdot \sqrt{7}}{32})^{2}[/tex3]
[tex3]\cos ^{2}(4\theta)=\frac{1003}{32^{2}}[/tex3]
[tex3]\cos (4\theta)=\frac{\sqrt{1003}}{32}[/tex3]
logo, [tex3]\sen (4\theta)[/tex3] pertence ao quadrante que possui o valor de seno negativo e cosseno positivo
que nos leva a crer que [tex3]\sen (4\theta)[/tex3] está no quarto quadrante

espero que seja isso