Pré-Vestibular ⇒ (UFSCAR - 2006) Progressão Geométrica Tópico resolvido

[edu_landim]

Selecionando alguns termos da PA [tex3](0, 2, 4, 6, 8, \ldots , n),[/tex3] formamos a PG [tex3](2, 8, 32, 128, \ldots , p).[/tex3] Se a PG formada possui [tex3]100[/tex3] termos, o número mínimo de termos da PA é

a) [tex3]2^{197}.[/tex3]
b) [tex3]2^{198}-1.[/tex3]
c) [tex3]2^{198}.[/tex3]
d) [tex3]2^{198}+1.[/tex3]
e) [tex3]2^{199}.[/tex3]

[mawapa]

Olá edu

Vamos tirar o primeiro termo da PA, depois somamos ele na resposta. Então a PA fica [tex3](2, 4, 6, 8, \ldots , n).[/tex3]

A PG é [tex3](2, 8, 32, 128, \ldots, p)[/tex3]

Observando que

• se a PG tem [tex3]1[/tex3] termo, a PA terá que ter [tex3]1[/tex3] termo,
  se a PG tem [tex3]2[/tex3] termos a PA terá que ter [tex3]4[/tex3] termos,
  se a PG tem [tex3]3[/tex3] termos a PA terá que ter [tex3]16[/tex3] termos
  [tex3]\ldots[/tex3]

Isso nos leva a outra PG: [tex3](1, 4, 16, 64, \ldots , m).[/tex3] Essa PG mostra exatamente quantos termos da PA você precisa para cada termo da PG.

Essa PG pode ser escrita assim: [tex3](2^0, 2^2, 2^4, 2^6,\ldots , 2^m).[/tex3] Note que o expoente forma uma PA de razão [tex3]2.[/tex3] Temos que [tex3]a_{100}=2^m[/tex3].
Agora temos que achar o [tex3]m.[/tex3]

• [tex3]m = a_1 + 99.r[/tex3]
  [tex3]m = 0 + 99\cdot 2[/tex3]
  [tex3]m = 198[/tex3]

Então, [tex3]a_{100}=2^{198},[/tex3] que é a quantidade de termos necessários na PA. Como retiramos o zero da PA original, devemos somá-lo ao resultado. Logo,

• [tex3]2^{198} + 1[/tex3]

Letra (d).

[Thadeu]

Outra solução:

Na PG,

[tex3]a_1=2,\text{ } q=4=2^2 \text{ e }n=100\\a_{100}=2\cdot (2^2)^{100-1}\Rightarrow a_{100}=2^{199}[/tex3]

Na PA,

[tex3]a_1=0,\text{ } r=2 \text{ e } a_n=2^{199}\\2^{199}=0+(n-1)\cdot 2\\2^{199}=2n-2\Rightarrow\frac{2^{199}+2}{2}=n\Rightarrow n=2^{198}+1.[/tex3]

Letra (d).