Pré-Vestibular ⇒ (FUVEST 1993) Geometria Plana: Área de um Triângulo Tópico resolvido

[bruninha]

Na figura, a reta [tex3]r[/tex3] passa pelo ponto [tex3]T(0,1)[/tex3] e é paralela ao eixo [tex3]Ox.[/tex3] A semi-reta [tex3]Ot[/tex3] forma um angulo [tex3]\alpha[/tex3] com o semi-eixo [tex3]Ox[/tex3] ([tex3]0^\circ< \alpha < 90^\circ[/tex3]) e intercepta a circunferência trigonométrica e a reta [tex3]r[/tex3] nos pontos [tex3]A[/tex3] e [tex3]B,[/tex3] respectivanente.

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A área do [tex3]\triangle TAB,[/tex3] como função de [tex3]\alpha[/tex3] é dada por:

a) [tex3]\frac{1- \text{sen} \alpha}{2}\cdot \cos \alpha[/tex3]
b) [tex3]\frac{1- \cos \alpha}{2}\cdot \text{sen} \alpha[/tex3]
c) [tex3]\frac{1-\text{sen} \alpha}{2}\cdot \text{tg} \alpha[/tex3]
d) [tex3]\frac{1-\text{sen} \alpha}{2}\cdot \text{cotg} \alpha[/tex3]
e) [tex3]\frac{1-\text{sen} \alpha}{2}\cdot \text{sen} \alpha[/tex3]

[edu_landim]

Temos que [tex3]T\hat{B}A\,=\,\alpha[/tex3] (ângulos altenos internos forrmados por duas retas paralelas)

Seja [tex3]A_1[/tex3] a projeção ortogonal de [tex3]A[/tex3] sobre o eixo [tex3]y,[/tex3] temos que a altura [tex3]h[/tex3] de [tex3]\triangle TAB[/tex3] em relação a [tex3]\overline{TB}[/tex3] é congruente a [tex3]\overline{TA_1}[/tex3].

• [tex3]h=TA_1\Rightarrow h= 1 -OA_1 \Rightarrow h=1-\text{sen} \alpha[/tex3]

Por outro lado, temos no triângulo retângulo [tex3]TBO[/tex3]

• [tex3]\text{tg} \alpha=\frac{TO}{TB} \Rightarrow \text{tg} \alpha = \frac{1}{TB} \Rightarrow TB = \frac{1}{\text{tg} \alpha} \Rightarrow TB = \text{cotg} \alpha[/tex3]

Finalmente

• [tex3][TBA]=\frac{h \cdot TB}{2} = \frac{1 - \text{sen} \alpha}{2} \cdot \text{cotg} \alpha[/tex3]