Pré-Vestibular ⇒ (CESGRANRIO - 1984) Trigonometria Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Os catetos de um triângulo retângulo medem [tex3]sen \alpha[/tex3] e [tex3]cos \alpha[/tex3], respectivamente. Se o perímetro do triângulo vale [tex3]1+\sqrt{\frac{3}{2}}[/tex3], o menor ângulo do triângulo mede:

a) [tex3]15^\circ[/tex3].
b) [tex3]22^\circ30'[/tex3].
c) [tex3]25^\circ[/tex3].
d) [tex3]27^\circ30'[/tex3].
e) [tex3]30^\circ[/tex3].

Resposta

---

a

[FilipeCaceres]

Olá Aldrin,

Do enunciado tiramos,
[tex3]sin\alpha +cos\alpha +1=1+\sqrt{\frac{3}{2}}[/tex3]
[tex3]sin\alpha +cos\alpha=\sqrt{\frac{3}{2}}[/tex3]

Arrumando,
[tex3]\sqrt{2}sin\alpha +\sqrt{2}cos\alpha =\sqrt{3}[/tex3]

Dividindo tudo por [tex3]2[/tex3]
[tex3]\frac{\sqrt{2}}{2}sin\alpha +\frac{\sqrt{2}}{2}cos\alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]

Assim temos,
[tex3]sin(45+\alpha)=sin(60)[/tex3]

Como queremos o menor ângulo,
[tex3]45+\alpha =60[/tex3]
[tex3]\boxed{\alpha=15^{\circ}}[/tex3].Letra A

Abraço.

[diogopfp]

Se os catetos valem [tex3]\sin\alpha[/tex3] e [tex3]\cos\alpha[/tex3], então a hipotenusa vale 1, pois [tex3]\sin^2\alpha+\cos^2\alpha[/tex3].
De acordo com o enunciado o perímetro vale [tex3]1+\sqrt{\frac{3}{2}}[/tex3], então
[tex3]\sin\alpha+\cos\alpha+1=1+\sqrt{\frac{3}{2}}[/tex3]
[tex3]\sin\alpha+\cos\alpha=\sqrt{\frac{3}{2}}[/tex3]
elevando ao quadrado
[tex3](\sin\alpha+\cos\alpha)^2=\frac{3}{2}[/tex3]
[tex3]\sin^2\alpha+\cos^2\alpha+ 2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{3}{2}[/tex3]
[tex3]1+ 2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{3}{2}[/tex3]
[tex3]2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{2}[/tex3]
[tex3]\sin(2\alpha)=\frac{1}{2}[/tex3]
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[tex3]\alpha=15[/tex3]