Pré-Vestibular ⇒ (VUNESP - 1987) Equações Exponenciais e Logaritmas Tópico resolvido

[gabrielifce]

Se x representa um número real qualquer, o conjunto dos valores a [tex3]\in \mathbb{R}[/tex3] para os quais não está definida a igualdade [tex3]a=\frac{2^{x}+2^{-x}}{ 2^{x}-2^{-x}}[/tex3] é dado por:

a) [tex3]a=2[/tex3] ou [tex3]a=-2[/tex3]
b) [tex3]a<-1[/tex3] ou [tex3]a>1[/tex3]
c)[tex3]a<-2[/tex3]
d) [tex3]a>2[/tex3]
e) [tex3]-1\leq a\leq 1[/tex3]

Resposta

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Item B

[FilipeCaceres]

Olá gabrielifce,

Temos,
[tex3]a=\frac{2^{x}+2^{-x}}{ 2^{x}-2^{-x}}[/tex3]

Reescrevendo,
[tex3]a=\frac{2^x+\frac {1}{2^{-x}}}{ 2^x-\frac{1}{2^{-x}}}=\frac{2^{2x}-1}{2^{2x}-1}[/tex3]
[tex3]2^{2x}\cdot a -a=2^x+1[/tex3]
[tex3]2^{2x}(a-1)=a+1[/tex3]
[tex3]2^{2x}=\frac{a+1}{a-1}[/tex3]
[tex3]2x\cdot log_2 2=log_2\left(\frac{a+1}{a-1}\right)[/tex3]
[tex3]x=\frac{1}{2}\cdot log_2\left(\frac{a+1}{a-1}\right)[/tex3]
[tex3]x=log_2\sqrt{\frac{a+1}{a-1}}[/tex3]

Logo devemos ter
[tex3]\sqrt{\frac{a+1}{a-1}}>0[/tex3]

Que é suficiente calcular
[tex3]\frac{a+1}{a-1}>0[/tex3],

Sendo assim encontramos,

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Ou seja, [tex3]\boxed{a<-1\,\,ou\,\,\,a>1}[/tex3]. Letra B

Abraço.