Pré-Vestibular ⇒ (FUVEST-2009) Geometria Tópico resolvido

[felps]

Alguém poderia me ajudar?

(FUVEST-2009) Na figura, estão representadas a circunferência [tex3]C[/tex3], de centro [tex3]O[/tex3] e raio [tex3]2[/tex3], e os pontos [tex3]A, B, P[/tex3] e [tex3]Q[/tex3] , de tal modo que:

1. O ponto [tex3]O[/tex3] pertence ao segmento [tex3]\overline{PQ}[/tex3].
2. [tex3]OP = 1[/tex3], [tex3]OQ =\sqrt{2}[/tex3] .
3. [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3] são pontos da circunferência, [tex3]\overline{AP} \perp \overline{PQ}[/tex3] e [tex3]\overline{BQ} \perp \overline{PQ}[/tex3] .

Assim sendo, determine:

a) A área do triângulo [tex3]APO[/tex3] .
b) Os comprimentos dos arcos determinados por [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3] em [tex3]C[/tex3] .
c) A área da região hachurada.

imagem.JPG (5.24 KiB) Exibido 1921 vezes

[roberto]

Sem título.png (21.57 KiB) Exibido 1917 vezes

a)Aplicando Pitág. no [tex3]\Delta[/tex3] APO: [tex3]\overline{AP}=\sqrt{3}[/tex3] .A área: [tex3]\frac{1.\sqrt{3}}{2}[/tex3].
b) Como AÔB é âng. central, ele tem a mesma medida do arco AB, então vamos descobrir qto mede AÔB:
cos PÔA=[tex3]\frac{OP}{OA}=\frac{1}{2}\rightarrow[/tex3] PÔA=60º
Fazendo o mesmo calculamos o âng.BÔQ =arccos [tex3]\sqrt{2}/2[/tex3] BÔQ=45º Finalmente: AÔB=180º-PÔA-BÔQ=75º , como foi pedido os arcos "AB", o outro é: 360-75=285º
c) A área pedida é a área dos triângs:APO,QBO e do setor circular AOB, a área do triâng. QBO é a metade de um quadrado de lado [tex3]\sqrt{2}[/tex3] e a área do setor é:(75/360)[tex3]\pi .2^2[/tex3] . Não farei as somas e se não bater com o gabarito é por que as respostas podem estar em radianos! Espero que tenha entendido!

[petrasMOD]

Complementando:
b)
[tex3]C_{AB} = \frac{75}{360}.2\pi.2 = \frac{5\pi}{6}\\
C_{AB}' = 2\pi.2 - \frac{5\pi}{6} = \frac{19\pi}{6}
[/tex3]

c) [tex3] S = S_{APO} + S_{BQO} + S_{(setor AOB)} =\frac{\sqrt3.1}{2}+ \frac{\sqrt2.\sqrt2}{2}+ \frac{\frac{5\pi}{6}.2}{2}=
\frac{\sqrt3}{2}+1+\frac{5\pi}{6}\\
\therefore S = \boxed{\frac{3\sqrt3+6+5\pi}{6}}
[/tex3]