Pré-Vestibular ⇒ (MAUÁ - 1981) Geometria Plana: Área de Figuras Planas Tópico resolvido

[jose carlos de almeida]

No triângulo [tex3]ABC,[/tex3] [tex3]G[/tex3] é o ponto de intersecção das medianas [tex3]BB'[/tex3] e [tex3]CC';[/tex3] [tex3]M[/tex3] e [tex3]N[/tex3] são os pontos médios de [tex3]BG[/tex3] e [tex3]CG,[/tex3] respectivamente. Sendo [tex3]BC\,=\,12\,\text{m},\, AB\,=\,6\,\text{m}[/tex3] e [tex3]A\hat{B}C\,=\,60^{\circ},[/tex3] determinar:

a) a área do triângulo [tex3]ABC;[/tex3]
b) a área do quadrilátero [tex3]MNB'C'[/tex3]

[cajuADMIN]

Olá José,

Desenhando a figura descrita no enunciado, temos:

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A primeira pergunta é a área do triângulo [tex3]ABC.[/tex3] Aplicamos a fórmula trigonométrica da área de um triângulo:

[tex3]A = \frac{12\cdot 6\cdot\sin(60^{\circ})}{2}[/tex3]

[tex3]A = 18\sqrt{3}[/tex3]

[tex3]G[/tex3] é o baricentro, ou seja, [tex3]C'G[/tex3] tem comprimento igual a [tex3]\frac{1}{3}[/tex3] de [tex3]C'C.[/tex3]

Primeira coisa que devemos saber é que, já que [tex3]CC'[/tex3] é mediana, então [tex3]C'[/tex3] é ponto médio de [tex3]AB.[/tex3] Assim, podemos concluir que o triângulo [tex3]BCC'[/tex3] tem área igual à metade da área de [tex3]ABC,[/tex3] ou seja, [tex3]A_{BCC'} = 9\sqrt{3}[/tex3]

Agora olhamos para os triângulos [tex3]BCC'[/tex3] e [tex3]MCC'[/tex3] (este não está desenhado, imagine-o).

Já que [tex3]M[/tex3] é o ponto médio de [tex3]BG,[/tex3] implica que a altura do triângulo [tex3]MCC'[/tex3] é metade da altura do triângulo [tex3]BCC'[/tex3] (veja que não estou dizendo que a altura do triângulo [tex3]BCC'[/tex3] é [tex3]BG,[/tex3] mas a altura segue a mesma proporção de [tex3]BG[/tex3] cortado por [tex3]M).[/tex3] Portanto, a área de [tex3]MCC'[/tex3] é a metade da área de [tex3]BCC',[/tex3] ou seja, [tex3]A_{MCC'} = \frac{9\sqrt{3}}{2}[/tex3].

Agora olhamos para os triângulos [tex3]MCC'[/tex3] e [tex3]MNC'.[/tex3] Pela propriedade do baricentro, sabemos que [tex3]GC[/tex3] é [tex3]\frac{2}{3}[/tex3] de [tex3]C'C.[/tex3] Já que [tex3]NC[/tex3] é [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] de [tex3]GC,[/tex3] então [tex3]C'N[/tex3] vale [tex3]\frac{2}{3}[/tex3] de [tex3]C'C[/tex3] também. Ou seja, a área do triângulo [tex3]MNC'[/tex3] é [tex3]\frac{2}{3}[/tex3] da área do triângulo [tex3]MCC',[/tex3] ou seja, [tex3]A_{MNC'} = \frac{2}{3}\cdot\frac{9\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}[/tex3].

Com este mesmo raciocínio, encontramos o valor da área [tex3]A_{ACC'}=3\sqrt{3}[/tex3].

Somando as duas áreas encontradas, temos a área do quadrilátero pedido:

[tex3]A_{MNB'C'}=6\sqrt{3}[/tex3].