Pré-Vestibular ⇒ (FUVEST - 1992) Probabilidade e Progressão Aritmética Tópico resolvido

[manuelfvca]

Numa urna há:

[tex3]{-}[/tex3] uma bola numerada com o número [tex3]1;[/tex3]
[tex3]{-}[/tex3] duas bolas com o número [tex3]2;[/tex3]
[tex3]{-}[/tex3] três bolas com o número [tex3]3,[/tex3] e assim por diante, até [tex3]n[/tex3] bolas com o número [tex3]n.[/tex3]

Uma bola é retirada ao acaso dessa urna. Admitindo-se que todas as bolas têm a mesma probabilidade de serem escolhidas, qual é, em função de [tex3]n,[/tex3] a probabilidade de que o número da bola retirada seja par?

Resposta:

---

Para [tex3]n[/tex3] par: [tex3]\frac{n+2}{2(n+1)}[/tex3]
Para [tex3]n[/tex3] ímpar: [tex3]\frac{n-1}{2n}[/tex3]

[Bruno Fraga]

O número de bolas na urna é [tex3]1 + 2 + 3+\ldots + n = \frac{(n+1)n}{2}.[/tex3]

i) Supondo [tex3]n[/tex3] par, isto é, [tex3]n=2k,\text{ } k \in\mathbb{N}^*,[/tex3] temos que o total de bolas com números pares é dado por

• [tex3]2 + 4 + 6 + \ldots + n = \frac{(2+n)\cdot \frac{n}{2}}{2}=\frac{(n+2)n}{4}[/tex3]

ii) Supondo [tex3]n[/tex3] ímpar, isto é, [tex3]n=2k+1,\text{ } k \in\mathbb{N}^*,[/tex3] temos que o total de bolas com números pares é dado por

• [tex3]2 + 4 + 6 + \ldots + n-1 = \frac{(2+n-1)\cdot \frac{(n-1)}{2}}{2}=\frac{(n+1)(n-1)}{4}[/tex3]

Portanto,

se [tex3]n[/tex3] for par, a probabilidade pedida é

• [tex3]\frac{\frac{(n+2)n}{4}}{\frac{(n+1)n}{2}} =\frac{n+2}{2(n+1)}[/tex3]

se [tex3]n[/tex3] for ímpar, a probabilidade pedida é

• [tex3]\frac{\frac{(n+1)(n-1)}{4}}{\frac{(n+1)n}{2}} =\frac{n-1}{2n}[/tex3]