Pré-Vestibular ⇒ (EFEI) Polinômios Tópico resolvido

[Daniel Hartmann]

Sabe-se que [tex3]P(x)[/tex3] é um polinômio que dividido por [tex3](x - 1)[/tex3] deixa resto [tex3]2[/tex3] e, quando dividido por [tex3](x - 3),[/tex3] deixa resto [tex3]6.[/tex3]
Qual é o resto da divisão de [tex3]P(x)[/tex3] por [tex3]x^2 - 4x + 3?[/tex3]

Minha Resposta:

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2x

Minha dúvida: para resolver o exercício, eu deduzi que [tex3]P(x)[/tex3] possui grau [tex3]2[/tex3]. Existe um método, digamos, menos intuitivo, de resolver esse tipo de problema?

Até mais!

[bigjohn]

Caraca, é incrível a coincidencia! Eu tive essa mesma duvida a duas semanas atras!
Tive duas duvidas, essa e uma sobre o grau do resto, que vai ser usada no final da questao.
A regrinha é que nem pros números.
Diz ae, se tu divide um número A por um B o resto tem que ser menor que B sempre,né?
Pros polinomios tem uma regra parecida. Quando tu divide [tex3]P(x)[/tex3] por [tex3]Q(x)[/tex3] o grau do resto vai ser sempre menor que o grau de [tex3]Q(X)[/tex3].
No exercício da EFEI, no final, o polinomio é dividido por um do segundo grau que nos mostra que o grau do resto pedido vai ser menor do que 1.

A primeira dúvida (a mesma que a sua) não existe por que o grau do [tex3]P(x)[/tex3] não é 2, pode ser qualquer um.hehehe, eu também fiquei assustado.
Mas o que tem que usar éo teorama do resto e algoritmo de euclides para divisão.

[tex3]P(1)=2[/tex3] pq P(x) dividido por (x-1) dá resto 2 (teorema do resto)
[tex3]P(3)=6[/tex3]

algoritmo de euclides para divisao de [tex3]P(x)[/tex3] por [tex3]x^2-4x+3=(x-1)(x-3)[/tex3] dando qociente [tex3]Q(x)[/tex3] e resto [tex3]R(X)[/tex3]

[tex3]Q(X) \cdot (x-1)(x-3) + R(X) = P(X)[/tex3]

Substitui o valor de [tex3]p(1)[/tex3] e [tex3]p(3)[/tex3] e acha

[tex3]R(1)=2[/tex3]
[tex3]R(3)=6[/tex3]

que agora dá pra achar [tex3]R(x)[/tex3] que é do primeiro grau, [tex3]R(X)=ax+b[/tex3]

[tex3]2=a+b[/tex3]
[tex3]6=3a+b[/tex3]

[tex3]a=2[/tex3]
[tex3]b=0[/tex3]

que é a resposta que você achou!!
flw :twisted:

[Daniel Hartmann]

Muito obrigado pelo auxílio bigjohn!!! Eu li sim que o grau do resto sempre será menor que o grau do divisor.

Até mais!