Pré-Vestibular ⇒ Parte Inteira Tópico resolvido

[K1llua]

Determine as soluções reais da equação [tex3]x^3-\left \lfloor x\right \rfloor=3[/tex3].

Resposta

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[tex3]x=\sqrt[3]{4}[/tex3]

Boa tarde! Alguém poderia me ajudar com essa questão? Desde já, agradeço.

[ProfLaplace]

Vou fazer uma solução rápida, ok? Por sorte, dá pra fazer essa questão sem usar tanto as propriedades do piso.
Mas se vc quiser uma solução mais "tradicional" usando as propriedades do piso, me avisa que eu digito depois também.

Vc pode observar facilmente que não se pode ter [tex3]x<0,[/tex3] pois não teria como o resultado dar 3.
Uma outra análise rápida vai te mostrar que [tex3]0\leq x\leq1[/tex3] também não serve.
Se [tex3]x=2,[/tex3] vc vai obter [tex3]8-2=6,[/tex3] que já ultrapassou o 3.
Daí também dá para concluir que [tex3]x\geq2[/tex3] não vai servir.

Portanto concluímos que se existe solução real, essa solução deve obedecer [tex3]1<x<2.[/tex3]
Se [tex3]1<x<2,[/tex3] teremos obrigatoriamente então [tex3]\lfloor x \rfloor=1.[/tex3]
Agora é só trocar o piso de x na equação por 1:
[tex3]x^3-1=3 \Rightarrow x^3=4 \Rightarrow x=\sqrt[3]{4}.[/tex3]

Para finalizar, faça a confirmação de que este valor está no intervalo suposto [tex3](1<x<2).[/tex3]
A confirmação disso vem assim:
[tex3]1<4<8 \Rightarrow \sqrt[3]{1}<\sqrt[3]{4}<\sqrt[3]{8} \Rightarrow 1<\sqrt[3]{4}<2. [/tex3]
Logo [tex3]x=\sqrt[3]{4}[/tex3] é a solução real da equação.

[K1llua]

Vou fazer uma solução rápida, ok? Por sorte, dá pra fazer essa questão sem usar tanto as propriedades do piso.
Mas se vc quiser uma solução mais "tradicional" usando as propriedades do piso, me avisa que eu digito depois também.

Vc pode observar facilmente que não se pode ter [tex3]x<0,[/tex3] pois não teria como o resultado dar 3.
Uma outra análise rápida vai te mostrar que [tex3]0\leq x\leq1[/tex3] também não serve.
Se [tex3]x=2,[/tex3] vc vai obter [tex3]8-2=6,[/tex3] que já ultrapassou o 3.
Daí também dá para concluir que [tex3]x\geq2[/tex3] não vai servir.

Portanto concluímos que se existe solução real, essa solução deve obedecer [tex3]1<x<2.[/tex3]
Se [tex3]1<x<2,[/tex3] teremos obrigatoriamente então [tex3]\lfloor x \rfloor=1.[/tex3]
Agora é só trocar o piso de x na equação por 1:
[tex3]x^3-1=3 \Rightarrow x^3=4 \Rightarrow x=\sqrt[3]{4}.[/tex3]

Para finalizar, faça a confirmação de que este valor está no intervalo suposto [tex3](1<x<2).[/tex3]
A confirmação disso vem assim:
[tex3]1<4<8 \Rightarrow \sqrt[3]{1}<\sqrt[3]{4}<\sqrt[3]{8} \Rightarrow 1<\sqrt[3]{4}<2. [/tex3]
Logo [tex3]x=\sqrt[3]{4}[/tex3] é a solução real da equação.

Gostei bastante da sua análise, obrigada!