Pré-Vestibular ⇒ (E.Eng.Pernabuco) Tangente Tópico resolvido

[botelho]

Cacule o valor de [tex3]\frac{2tan70°+tan40°}{tan^{2}70°}[/tex3].
a)tan70°
b)cot40°
c)2tan40°
d)tan40°
e)tan40° tan70°

Resposta

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d

[petrasMOD]

[tex3]70^\circ[/tex3] e [tex3]20^\circ[/tex3] são complementares (70 + 20 = 90).
Logo, [tex3]\tan 70^\circ = \cot 20^\circ = \frac{1}{\tan 20^\circ}[/tex3].
Além disso, note que [tex3]40^\circ =2.20^\circ[/tex3].
A fórmula da tangente do arco duplo:[tex3]\tan 40^\circ = \tan(2 \cdot 20^\circ) = \frac{2\tan 20^\circ}{1 - \tan^2 20^\circ}[/tex3]
Substituindo no Numerador: [tex3]t = \tan 20^\circ:\tan 70^\circ = \frac{1}{t}:\boxed{\tan 40^\circ = \frac{2t}{1 - t^2}}[/tex3]
[tex3]Numerador:2\left(\frac{1}{t}\right) + \frac{2t}{1 - t^2} = \frac{2}{t} + \frac{2t}{1 - t^2}[/tex3]
[tex3]\frac{2(1 - t^2) + 2t^2}{t(1 - t^2)} = \frac{2 - 2t^2 + 2t^2}{t(1 - t^2)} = \frac{2}{t(1 - t^2)}\\\tan^2 70^\circ = (\frac{1}{t})^2 = \frac{1}{t^2}.\\
\therefore \frac{\frac{2}{t(1 - t^2)}}{\frac{1}{t^2}} = \frac{2}{t(1 - t^2)} \cdot \frac{t^2}{1} =\boxed{ \frac{2t}{1 - t^2}}[/tex3]
Repare que o resultado final [tex3]\frac{2t}{1 - t^2}[/tex3] é exatamente a fórmula da [tex3]\tan 40^\circ[/tex3] que definimos anteriormente